Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

34. Теоремы о норме линейных операторов.

Докажем теперь две теоремы о норме операторов.

Теорема 1. Норма линейного опера тооа А есть точная верхняя граница чисел при т. е.

Если А — оператор аннулирования, то при всех и теорема очевидна, ибо в этом случае . Положим, что оператор аннулирования. Из неравенства

следует, что

С другой стороны, если в скалярном произведении положить ненулевой элемент, то получим силу можно выбрать так, чтобы

и было сколь угодно близко к Это утверждение совместно с (215) и дает (214).

В дальнейшем мы будем рассматривать операторы только с симметричным ядром Для них характерно следующее равенство:

При этом есть вещественное число. Такие линейные операторы называются самосопряженными [30]. Основным для дальнейшего будет следующая теорема.

Теорема 2. Норма самосопряженного линейного оператора А выражается формулой

Обозначим

Надо доказать, что . Если - любой элемент, отличный от нулевого, то можем написать:

откуда

Для нулевого элемента это соотношение очевидно. Пользуясь линейностью, можем написать

или

где - обозначение вещественной части. С другой стороны, применяя (218), получим

откуда имеем неравенство при любых и

Пусть — модуль и а — аргумент комплексного числа Поскольку элемент произволен, то

мы можем заменить на . При этом заменится на заменится на останется без изменения, так что неравенство примет вид при любых

откуда при и, следовательно,

Остается доказать, что Мы имеем откуда

Но, по определению, d есть точная верхняя граница левой части написанного неравенства, т. е. Итак, для самосопряженного линейного оператора

Очевидно, доказанные теоремы справедливы, как в пространстве так и в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление