Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

35. Существование собственного значения.

Рассмотрим вполне непрерывный самосопряженный оператор А в или отличный от оператора аннулирования, и однородное уравнение с параметром

что соответствует записи однородного интегрального уравнения в виде

Всякое число для которого существует отличное от тождественного нуля решение уравнения (224), будем называть собственным значением (или собственным числом) этого уравнения. Характеристические значения связаны с собственными значениями соотношением

В силу - (222) существует такая последовательность нормированных элементов что

Поскольку оператор аннулирования), величины при достаточно больших отличны от нуля, и среди них имеется или бесконечно много положительных, или бесконечно много отрицательных, или бесконечно много и тех и других. Во всяком случае, мы можем выделить такую подпоследовательность из последовательности элементов что, удерживая прежнее обозначение значков, можем написать:

где

или

Составим элемент

и определим квадрат его нормы:

или, принимая во внимание, что

В силу (226) правая часть стремится к нулю при а потому и т. е.

До сих пор мы не использовали того факта, что А — вполне непрерывный оператор. Используем это сейчас.

Элементы нормированы, так что множество их ограничено, стало быть, последовательность компактна. Из нее можно вьщелить подпоследовательность, имеющую предельный элемент. Сохраняя прежнее обозначение значков, можем считать, что последовательность имеет предельный элемент. Но тогда из (227) следует, что последовательность имеет предельный элемент . Пусть Предельный элемент так же как и нормирован в силу сходимости Переходя в (227) к пределу и принимая во внимание непрерывность оператора А, получим т. е.

Таким образом, уравнение (223) имеет собственное число и соответствующий нормированный собственный элемент Из (228) следует

Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме существования собственного числа.

Теорема 1. Если А — вполне непрерывный самосопряженный оператор, отличный от оператора аннулирования, то уравнение (223) имеет собственное число такое, что а соответствующий собственный элемент обращает в максимум при условии

Заметим, что при доказательстве сходимости элементов мы не использовали полноты пространства, и рассуждения справедливы как для так и для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление