Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

48. Ядра, зависящие от параметра.

При изложении теории интегральных уравнений мы рассматривали параметр , входящий лишь в качестве множителя при ядре. Мы рассмотрели в [41] интегральное уравнение с ядром , которое является аналитической функцией параметра.

При рассмотрении интегральных уравнений с ядрами, которые являются аналитическими функциями параметра, мы можем встретить существенные отклонения от тех закономерностей, которые мы имели в изложенной выше общей теории. В качестве простейшего примера рассмотрим один тип однородного интегрального уравнения, в котором ядро есть полином первой степени от

где

причем

Нетрудно проверить, что написанное однородное уравнение при всяком имеет решение

Рассмотрим теперь общий случай ядра при следующих условиях: 1) непрерывная функция , когда принадлежит находится внутри некоторой области В плоскости комплексной переменной при всех принадлежащих упомянутому квадрату, есть регулярная функция внутри В.

Напишем интегральное уравнение, вводя вспомогательный параметр перед знаком интеграла:

Мы можем повторить рассуждения из [5] и [7], заменяя , фигурирующее в формулах этих параграфов, на Мы придем, таким образом, к резольвенте

Числитель и знаменатель этой дроби — степенные ряды по переменной и коэффициенты этих рядов регулярные функции внутри В. Если заключается в какой-либо замкнутой области лежащей внутри Б, то упомянутые ряды при любом значении сходятся абсолютно и равномерно относительно и тем самым суммы этих рядов — регулярные функций внутри Полагая получим уравнение

При этом возможны два случая: 1) регулярная внутри В функция не равна тождественно нулю; В первом случае уравнение (301) имеет резольвенту:

при всех , отличных от корней любой области лежащей внутри В, может содержаться лишь конечное число таких корней. Резольвента удовлетворяет, очевидно, уравнениям

и если не есть корень то уравнение (301) при любой имеет единственное решение:

Если есть корень то отсюда следует, что целая функция имеет корень и из результатов [8] следует, что однородное уравнение

имебт при решения, отличные от нулевого. Отсюда следует, между прочим, что полюс Действительно, в противном случае при всяких резольвента была бы регулярной в точке удовлетворяла бы уравнениям (302), в чем легко убедиться непрерывным переходом в точку от близких значений , в которых равенства (302) имеют место. Но если равенства (302) имеют место при отсюда следует, что уравнение (301) при всякой имеет единственное решение [6], а следовательно, однородное уравнение (303) может иметь только одно нулевое решение. В случае однородное уравнение (303) имеет, очевидно, решение, отличное от нулевого, при всяком лежащем внутри В, и неоднородное уравнение (301) разрешимо не при всяком свободном члене.

Из предыдущих рассуждений следует, что при сделанных предположениях о ядре характеристические значения не могут сгущаться внутри В, т. е. во всякой замкнутой области лежащей внутри В, их может быть лишь конечное число. Если вместо регулярности ядра мы предположим, что оно может иметь полюсы, не зависящие от s и t, то возможно, что в любой малой окрестности каждого такого полюса находится бесконечное множество характеристических значений. Так, например, если уравнение

с непрерывным симметричным ядром имеет бесконечное множество характеристических значений то и у уравнения

с ядром имеющим полюс характеристические значения стремятся при

Но может случиться, что резольвента для ядра, которое имеет полюсы, не имеет вовсе особых точек. Так, например, пусть — резольвента

некоторого интегрального уравнения с симметричным ядром. Как мы знаем, она есть мероморфная функция , полюсы которой не зависят от s и t. Составим интегральное уравнение:

с ядром и параметром силу сказанного в [41] резольвента этого уравнения равна

и она не зависит от .

В работе Я. Д. Тамаркина (Ann. of Mathem , 1927 г.) доказана следующая теорема для ядер из

Теорема» Предположим, что ядро уравнения

регулярная функция внутри некоторой области плоскости для почти всех точек квадрата и что интегралы

существуют при почти всех s или соответственно t из и в любой замкнутой области лежащей внутри

где - положительная функция, зависящая от выбора и интегрируемая по промежутку При этом резольвента есть дробная функция при всех в почти или не существует ни при каком . Если функция , то если она существует хотя бы при одном , есть отношение двух целых функций.

В упомянутой работе доказана аналогичная теорема и для того случая, когда есть мероморфная функция внутри причем коэффициенты при полярных членах суть конечные суммы произведений функции только от s на функцию только от

Уравнения с ядрами, аналитически зависящими от параметра, были рассмотрены еще в ряде работ и, в частности в работах: Miranda (Circ. Matem. di Palermo, t. 608, 1937 г.), Iglisch (Math. Ann. Bd. 117, 1939 r.) и 3. И. Халилов (ДАН СССР, т. 54, №7, 1946 г.). В этих работах указана и литература вопроса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление