Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

53. Уравнения Вольтерра специального вида.

Рассмотрим уравнения Вольтерра с ядром, зависящим лишь от разности своих двух аргументов:

Предположим, что непрерывные функции стремятся к нулю при и имеют оценку

где постоянные А и , а постоянные . Пусть верхние границы значений при . Применяя к уравнению (333) метод последовательных приближений [50], получим для при оценку Отсюда видно, что к функциям применимо одностороннее преобразование Лапласа при , и мы получаем преобразованные функции:

регулярные в полуплоскости . Применяя к обеим частям (333) одностороннее преобразование Лапласа и пользуясь формулой свертывания, будем иметь

откуда

Выше мы видели, что функция должна быть регулярной в полуплоскости Отсюда ввиду полной независимости вытекает, что знаменатель написанной дроби не должен иметь корней внутри упомянутой полуплоскости. Совершая обращение первой из формул (335), получим

Итак, определяя функции по формулам (335) и по формуле (336), мы получим по формуле (337) решение уравнения (333) в явном виде. Заметим, что при определении функции в конечном промежутке , мы согласно уравнению (333) используем значения только из упомянутого выше промежутка, и можем, таким образом, продолжить эти функции вне указанного промежутка любым образом и, в частности, так, чтобы они удовлетворяли указанным выше условиям. Мы можем даже считать их тождественно равными нулю при достаточно больших положительных значениях

Покажем, что для уравнения (333) и все повторные ядра зависят лишь от разности Мы имеем [50]

Введем вместо новую переменную интегрирования

откуда и следует непосредственно, что есть функция разности

Аналогично доказательство и для следующих повторных ядер. Таким образом, в силу формулы (307) при мы можем утверждать, что резольвента уравнения (333) будет зависеть только от упомянутой выше разности Обозначая ее через мы, пользуясь формулой (309), можем написать решение уравнения (333) в виде

Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа и вводя, наряду с (335), обозначение

мы получим

Пользуясь формулой (336), мы можем определить через известную функцию

и обращение формулы (339) даст нам резольвенту

Подставляя в формулу (338), получим решение.

Указанный метод решения уравнения (333) приложим и к системам уравнений Вольтерра вида

Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим

Решая эту систему уравнений первой степени, определим , и решение нашей системы получится по формулам

Заметим, что условия (334) для ядра К и свободного члена можно значительно ослабить. Достаточно потребовать, чтобы существовала такая положительная постоянная с, чтобы были ограниченными по абсолютной величине при При этом будут иметь место формулы (337) и (341) при всех достаточно больших значениях а Для доказательства этого утверждения достаточно обе части (333) умножить на и ввести новую искомую функцию свободный член и ядро

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление