Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

59. Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши.

Рассмотрим уравнение

где заданные на L функции, удовлетворяющие условию Липшица, причем считается, что

Решение ищется также среди функций, удовлетворяющих условию Липшица. Вводим функцию

Из формул (372) следует при указанных выше обозначениях:

Подставляя (389) и (390) в (387), получим

или

т. е. должно быть решением задачи 3, равным нулю при . Пусть, наоборот, имеется такое . Определяя по формуле (389), мы будем иметь для формулу (388) [58], из которой вытекает (390). Определяя из (389) и и подставляя в (392), получим (387). Таким образом, решение уравнения (386) равносильно решению задачи 3 при предельном условии (392). При этом определяется формулой (389). Теперь остается обратиться к результатам из [58], чтобы получить полное решение задачи. Согласно формулам (375), вводим целое число

которое называется индексом уравнения (391).

Пусть решение задачи 2 при условии

отличное от нуля, которое мы построили в [58]. Рассмотрим три случая:

1) . При этом мы имеем:

где произвольный полином степени .

2) . Решение получаете по (393) при т. е.

Для разрешимости задачи 3 необходимо и достаточно выполнение условий:

и если эти условия выполнены, то решение выражается формулой (394).

Пользуясь формулами (385) и (389), мы можем теперь получить решения уравнения (387). При этом надо использовать формулы для скачка интеграла типа Коши. Таким образом, получим при

причем при . При если выполнены условия (395), получим тот же результат, где только . Отсюда непосредственно следует, что однородное уравнение

при имеет общее решение:

а при уравнение (396) имеет только нулевое решение. Формула (397) дает k линейно-независимых решений уравнения (396):

Итак, при неоднородное уравнение (387) разрешимо при любой и однородное уравнение (396) имеет k линейнонезависимых решений. При уравнение (387) разрешимо при любой и имеет единственное решение, а однородное уравнение (396) имеет только нулевое решение. При мы имеем условий (395) разрешимости уравнения (387) и при выполнении этих условий уравнение (387) имеет единственное решение. Однородное уравнение имеет при этом только нулевое решение. Мы имеем здесь результаты, отличные от тех, которые имели при решении обычных уравнений Фредгольма.

Отметим, что уравнение первого рода

получается как частный случай уравнения (387) при этом частном случае k = 0.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление