Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

68. Примеры.

1. Рассмотрим симметричное ядро

где — вещественный параметр. В качестве с мы можем взять любое число, удовлетворяющее неравенству Функция будет

И

где

Величина к будет зависеть от и от класса решений, характеризуемого числом с. Если то Если то если то

1) Случай . При любом с, имеем так как Задача (448) имеет вид

Ввиду особой простоты коэффициента (452) эту задачу можно решить, не пользуясь интегралами типа Коши. Очевидно, что

Перепишем условие (453) в виде

Произведение

мы легко можем представить как разность вида (370), если учтем, что регулярна при

Таким образом [ср. 58],

откуда

и решение уравнения

при имеет вид

2) Рассмотрим случай и положим, что с удовлетворяет условию . Мы имеем откуда . Функция, стоящая в правой части формулы (453), может иметь в области простой полюс и должна стремиться к нулю при . Нетрудно видеть, что мы должны положить

Где произвольная постоянная. Находим

и решение уравнения (456) при будет таким:

Второе слагаемое является решением однородного уравнения. Добавляя слева от прямой интегрирования полуокружность большого радиуса, применяя лемму Жордана и теорему о вычетах, получим решение однородного уравнения в виде

3) Случай . Взяв более узкий, класс решений, будем иметь Метод решения тот же, что и в случае 1).

4) Случай . Класс решений сужен еще более . Метод решения отличается от случая 1) только что теперь в формуле (455) выражение, стоящее в квадратной скобке, должно обращаться в нуль при . Отсюда выводим необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (456) в рассматриваемом клаосе:

5) Случай . Метод решения тот же, как в случае 2). Решение однородного уравнения при можно представить в виде

где . При однородное уравнение имеет решение

6) Случай . Метод решения тот же, как в случае 4). Будем иметь исчезающее на бесконечности решение, если выполнено условие (457). Можно показать, что это условие равносильно

или

2. Рассмотрим однородное уравнение, ядро которого определяется формулой (уравнение Милна):

Эта функция при обращается в бесконечность порядка . Это обстоятельство не мешает применению предыдущего метода. Образуем функцию

Повторное интегрирование в первом слагаемом равносильно вычислению двойного интеграла по той части первого координатного угла плоскости в которой выполнено неравенство . Производя перемену порядка интегрирования, можем переписать это первое слагаемое в виде

Написанный интеграл может быть вычислен, например, дифференцированием по параметру s, и мы получаем

причем мы считаем, что вещественная часть s меньше единицы. Точно так же вычисляется и второе слагаемое в выражении L(s), и мы получаем

причем надо брать то значение логарифма, которое обращается в нуль при . Разлагая логарифм в степенной ряд, убедимся, что уравнение

имеет двойной корень . Можно показать, что оно не имеет других корней, у которых вещественная часть заключена внутри промежутка . Если взять то число

и мы можем определить решения по формулам (449) и (451) при . Изложение последних двух принадлежит Ю. И. Черскому.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление