Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Интегральные соотношения для резольвенты. Теоремы существования и единственности.

Покажем, что резольвента определенная при условии (41), удовлетворяет как функция s или t следующим двум интегральным уравнениям:

Чтобы проверить, например, второе уравнение, помножим обе части формулы (39) на и проинтегрируем по

ИЛИ

Умножим обе части на :

или, заменяя переменную суммирования на и начиная суммировать с получим:

В силу (39) мы можем переписать это равенство в виде

что и дает второе из уравнений (46), но только при других обозначениях переменных. Аналогичным образом проверяется и первое из написанных интегральных уравнений для резольвенты.

До сих пор мы определили резольвенту только при значениях , удовлетворяющих условию (41). В дальнейшем увидим, что резольвента существует на всей плоскости комплексного переменного , кроме некоторых изолированных значений к, и что она на всей плоскости удовлетворяет уравнениям (46). Поэтому представляется важным доказать теорему существования и единственности, исходя только из уравнений (46)

Теорема. Если при некотором значении К существует непрерывная в квадрате функция , удовлетворяющая уравнениям (46), то уравнение (42) при этом значении X имеет единственное решение, и это решение определяется формулой (45).

Доказательство распадается на две часги. Сначала мы докажем, что при наличии (46) всякое решение уравнения (42) должно выражаться формулой (45). Это даст нам единственность. Затем мы проверим, что формула (45) действительно дает решение уравнения (42).

Пусть некоторое решение уравнения (42). Умножим обе часш (42) на и проинтегрируем по

Принимая во внимание второе из уравнений (46), мы можем написать:

и предыдущая формула переписывается в виде

Сокращая в этой формуле одинаковые члены слева и справа и заменяя в силу (42)

получим формулу (45).

Покажем теперь, что функция определяемая формулой (45), действительно удовлетворяет уравнению (42) при наличии (46).

Подставляя выражение (45) в уравнение (42), перенося в нем все члены в левую часть, получим:

или

что можно переписать в виде

а это последнее равенство действительно имеет место, так как в квадратных скобках, в силу первого из уравнений (46), стоит тождественный нуль. Теорема, таким образом, полностью доказана.

Принимая во внимание, что при значениях , удовлетворяющих условию (41), мы построили резольвенту, удовлетворяющую уравнениям (46), мы можем утверждать, что при значениях , удовлетворяющих условию (41), уравнение (42) имеет единственное решение и что это решение определяется формулой (45). Это можно было бы доказать и непосредственно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление