Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

74. Случай кратных интегралов.

Приведем теперь вывод необходимого условия экстремума для кратного интеграла. Впервые эти условия были указаны М. В. Остроградским. Рассмотрим двойней интеграл

где их, частные производные функции и а — некоторая конечная область на плоскости XY. Считается, что функция имеет непрерывные производные до второго порядка, если точка находится внутри некоторой трехмерной области — любые Ищется поверхность лежащая внутри с границей к, однозначно проектирующаяся на плоскость в виде области В с границей дающая экстремум функционалу (32). Иными словами, ищется функция и в области В, дающая экстремум функционалу и принимающая данные значения на l. Мы предполагаем, что и имеет непрерывные производные до второго порядка в В. Составляем близкие функции и , где произвольная функция, обращающаяся в нуль на L Подставляя эту функцию в интеграл (32), дифференцируя по а и полагая получим следующее выражение первой вариации функционала:

Преобразуем последние два слагаемых, пользуясь известной формулой Римана

следующим образом:

Таким образом, мы будем иметь следующее выражение первой вариации:

Для экстремума необходимо, чтобы эта первая вариация обращалась в нуль, или, принимая во внимание, что на l равно нулю, мы можем утверждать, что двойной интеграл, стоящий в правой части (33), должен равняться нулю, а отсюда в силу леммы 2 [71] мы получаем для искомой функции и дающей экстремум функционалу (32), следующее уравнение Остроградского:

или, в раскрытом виде,

Мы получили уравнение с частными производными второго порядка, которое должно быть удовлетворено внутри области. Предельным условием, как мы уже говорили выше, является задание и на контуре

В случае кратного интеграла, зависящего от нескольких функций, мы будем искать систему таких уравнений. В случае тройного интеграла и функции и , зависящей от трех независимых переменных, получится уравнение следующего вида:

Если под знак интеграла входят производные функции и до порядка то уравнение Остроградского будет иметь вид

Во всех предыдущих рассуждениях мы, как всегда, считаем непрерывными все функции, входящие в формулы. Кроме того, считается, что возможно применение при выводе формулы (33) преобразования двойного интеграла в криволинейный, что связано с поведением частных производных их и в окрестности контура I области В. Мы еще вернемся с более общих точек зрения к вопросу об экстремуме кратных интегралов при заданных предельных условиях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление