Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

96. Слабый и сильный экстремум.

Говорят, что экстремаль дает слабый экстремум интегралу (191), если она дает экстремум (минимум или максимум) этому интегралу по сравнению со всеми кривыми расположенными в ее -окрестности первого порядка [72], т. е. со всеми кривыми, достаточно близкими к ней по ординате и по угловому коэффициенту касательной

Если же экстремаль дает экстремум интегралу (191) по сравнению со всеми кривыми, близкими только по ординате, т. е. только , то говорят, что экстремаль дает сильный экстремум интегралу. Очевидно, что всякий сильный экстремум является и слабым экстремумом. Обратное утверждение не всегда справедливо. Докажем следующую теорему:

Теорема. Усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны для того, чтобы экстремаль давала слабый экстремум интегралу (191).

Напомним, что функция считается непрерывной вместе с ее производными до второго порядка в некоторой области В плоскости и при любых значениях Считается, что исследуемая экстремаль функционала

находится внутри В. Пусть функция с непрерывной производной в промежутке равной нулю на его концах. Рассмотрим разложение разности

по формуле Тейлора до производных второго порядка и в результате положим

где

значение соответствующих производных при аргументах . В силу непрерывности производных второго порядка от F можно записать 6 в виде

где

Принимая во внимание, что для экстремали

и приводя второе слагаемое правой части (212) к виду (194), получим

Оценим интеграл от через интеграл от . По неравенству Буняковского

откуда

Оценим теперь величину . В силу неравенства Коши

Принимая во внимание (215) и то, что при любом заданном существует такое что при , получим:

откуда

и, принимая во внимание (210), получаем

откуда и следует, что

если обладает указанными выше свойствами и не равно тождественно нулю. Теорема о слабом минимуме доказана.

Можно показать, что если выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби и, кроме того, положительно для всякого конечного значения в некоторой области, содержащей экстремаль внутри, то эта экстремаль дает сильный минимум. Это связано с теорией поля экстремалей, на которой мы кратко остановимся в [98].

Отметим еще, что если на экстремали соблюдено усиленное условие Лежандра, но решение уравнения (200), удовлетворяющее условиям (202), имеет корни внутри то эта экстремаль не дает минимума интегралу (191).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление