Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

97. Случай нескольких функций.

Приведем результаты, аналогичные результатам из [95] и [96], для случая нескольких функций, т. е. для функционалов вида

Методы доказательств принципиально те же, что и выше.

Положим, что - экстремаль функционала (216), т. е. функции удовлетворяют уравнениям Эйлера из [73]. Пусть - добавки к функциям удовлетворяющие обычным условиям гладкости и предельным условиям

Подставляя функции в выражение F и ее производных по аргументам получаем две квадратные таблицы функций от

В дальнейшем для краткости воспользуемся обозначениями

через будем обозначать результат линейного преобразования

и аналогично для . Вторая вариация приводится при к формуле

аналогичной (194).

Условие Лежандра выражается положительностью квадратичной формы с коэффициентами при всех из промежутка , т. е. неравенством

при всех вещественных а усиленное условие Лежандра положительной определенностью упомянутой формы, т. е.

где с — некоторое положительное число.

Роль уравнения (200) играет система уравнений Эйлера [73] для квадратичного функционала (218):

Пусть

— решения системы (220) с начальными условиями

и — определитель порядка с элементами Усиленное условие Якоби состоит в том, что не обращается в нуль при Доказывается, что если для экстремали выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то такая экстремаль дает слабый минимум функционалу (216).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление