Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

108. Решение предельных задач в трехмерном случае.

Рассмотрим внутренние задачи Дирихле и Неймана для области ограниченной поверхностью S. Будем искать решение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя:

где — направление MN и — направление внешней нормали в точке N поверхности. Искомой является плотность . Согласно первой из формул (42), внутренняя задача Дирихле С предельным значением

равносильна следующему интегральному уравнению для плотности

Вводя ядро

мы можем переписать последнее уравнение в виде

Ядро не симметрично, поскольку нормаль берется в точке N и обозначает направление . Мы получим транспонированное ядро союзного уравнения [IV,; 9], если будем брать нормаль в и считать от N к Это транспонированное ядро определится, таким образом, формулой

где — направление внешней нормали в . Мы переменили знак у ядра, так как в должны были переменить направление на противоположное, а в формуле обозначает по-прежнему направление Решение внутренней задачи Неймана с предельным условием

ищем в виде потенциала простого слоя:

Пользуясь первой из формул (49), приходим к интегральному уравнению, равносильному поставленной задаче:

Это уравнение может быть также записано. в виде

Совершенно так же, используя вторые из формул (42) и (49), мы получим для внешней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана при предельных условиях

интегральные уравнения

причем, как и выше, решение задачи Дирихле ищется в виде (123), а решение задачи Неймана — в виде (128). Напишем уравнения с параметром:

Уравнение (132) при соответствует внутренней задаче Дирихле, а при внешней задаче Дирихле. Уравнение (133) при - соответствует внешней задаче Неймана, и при внутренней задаче Неймана. Если есть поверхность Ляпунова и в условии

(3) а= 1, то для ядра интегрального уравнения на основании результатов из [94] мы получаем оценку

и мы можем считать, что для уравнений (132) и (133) справедливы основные теоремы теории интегральных уравнений [IV,; 10].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление