Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

111. Предельные задачи на плоскости.

Задачи Дирихле и Неймана на плоскости рассматриваются совершенно так же, как и в [108]. Решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя:

и задачи Неймана в виде потенциала простого слоя:

Для плотности получаются интегральные уравнения:

где

Уравнение (146) при соответствует внутренней задаче Дирихле, а при внешней задаче Дирихле. Уравнение (147) при соответствует внешней задаче Неймана, а при внутренней задаче Неймана. Во всех случаях функция, входящая в предельное условие.

Уравнение (146) можно записать в виде

где s и длины дуг контура отсчитываемые от какой-либо фиксированной точки L в определенном направлении, а длина контура Аналогично записываем и уравнение (147), При сделанных в [101] предположениях о контуре l ядра и - непрерывные ядра.

Как и в не есть собственное значение, а собственное значение первого ранга При этом для уравнения собственная функция есть произвольная постоянная, а для уравнения (147) это — электростатическая плотность при которой потенциал простого слоя (145) равен постоянной на l и внутри l.

Решение внутренних задач Дирихле и Неймана получается так же, как и в трехмерном случае. Остановимся на внешних задачах. Решение внешней задачи Неймана связано с уравнением при При этом функция должна удовлетворять условию [105]:

Интегрируя обе части (147) при по точке получим

и, следовательно, функция (145), где - решение уравнения (147) при будет гармонической функцией, регулярной на бесконечности (105), и, тем самым, будет давать решение внешней задачи Неймана.

Переходим к внешней задаче Дирихле. Если удовлетворяет условию

то подстановка решения уравнения (146) при в формулу (144) дает решение задачи.

Если это условие не выполнено, то берем такую постоянную а, чтобы иметь (ср. [109])

и, как и выше, получаем по формуле (144) решение задачи при предельных значениях и сумма будет искомым решением задачи с предельными значениями f(N). Добавление постоянной связано с тем, что формула (144) даег гармоническую функцию, равную нулю на бесконечности, а в плоском случае решение внешней задачи не требует обращения в нуль на бесконечности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление