Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

113. Тепловое равновесие излучающего тела.

Рассмотрим третью предельную задачу для уравнения Лапласа.

В случае установившегося потока тепла температура внутри тела должна удовлетворять уравнению Лапласа, а на границе S должно быть выполнено условие

где h — коэффициент внешней теплопроводности и — температура внешней среды, соприкасающейся с телом. Обе эти величины мы можем считать функциями точки на поверхности S, и приходим, таким образом, к задаче нахождения гармонической функции внутри поверхности S, удовлетворяющей на этой поверхности предельному условию вида:

где заданные на функции и Будем искать решение этой предельной задачи в виде потенциала простого слоя. Предельное условие (150) приведет к следующему интегральному уравнению для плотности:

или

Покажем, что при сделанном выше предположении однородное уравнение не может иметь решения, отличного от нулевого. Действительно, мы видели выше [104], что при гармоническая функция, представимая потенциалом простого слоя и тем самым имеющая правильную нормальную производную и удовлетворяющая однородному предельному условию

тождественно равна нулю внутри S. Положим, что однородное уравнение имеет решение Потенциал простого слоя с плотностью удовлетворяет однородному предельному условию (151) и, следовательно, равен нулю внутри S. Поскольку он равен нулю и на бесконечности, мы, как и раньше, заключаем отсюда, что он равен нулю во всем пространстве и что , т. е., действительно, однородное уравнение не имеет решений, а потому неоднородное уравнение разрешимо при любом выборе свободного члена . Предположим, что поверхность S есть сфера единичного радиуса и что функция есть положительная постоянная h. В этом случае, в силу мы получаем интегральное уравнение

которое мы разбирали в предыдущем параграфе. Если считать h за параметр, то собственные значения этого интегрального

уравнения определятся из уравнения , т. е. собственные значения будут , а соответствующие им собственные функции будут сферические функции. Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть третью предельную задачу и для случая плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление