Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

118. Вспомогательные предложения.

Мы докажем некоторые предложения о и супергармонических функциях, которые нам будут нужны при решении задачи Дирихле. В дальнейшем через В мы, как всегда, будем обозначать ограниченную область В вместе с ее контуром, т. е. замкнутую область.

Теорема I. Пусть - функции, непрерывные в и субгармонические внутри В. Построим функцию которая в каждой точке Б равна наибольшему из значений

При этом будет непрерывной в В и субгармонической внутри В.

Теорема I'. Аналогично, если супергармонические и

то и супергармоническая.

Непрерывность в Б непосредственно вытекает из непрерывности . Пусть — некоторая точка внутри В, и пусть в этой точке равно, например, . Мы имеем, в силу субгармоничности

Но, в силу (175), на окружности, по которой производится интегрирование, , а следовательно, и подавно

что и дает субгармоничность

Теоремами. Пусть субгармоническая внутри В и непрерывная в — круг, содержащийся в и та гармоническая внутри функция, значения которой на окружности круга К совпадают со значениями Тогда

Теорема II. Аналогично, если супергармоническая функция, то

Выражение есть сумма субгармонической функции и гармонической (т. е. тоже субгармониче ской) функции . Значит есть субгармоническая

внутри к функция, равная нулю на контуре. Следовательно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, внутри К, что и приводит к

Теорема III. Если при условиях теоремы II мы заменим значения в круге К значениями и обозначим новую функцию через то эта функция, непрерывная в будет субгармонической внутри В.

Теорема III'. Такое же построение длясупергармонической функции даст супергармоническую функцию

Вне К функция совпадает с и условие очевидно выполнено во всякой точке вне К при достаточно малом . Внутри К функция гармоническая, и выполнено со знаком равенства. Остается проверить выполнение в точках окружности круга Пусть такая точка, причем если упомянутая окружность имеет точки, общие с контуром обла , то мы считаем, что ) лежит внутри В. Мы имеем

Внутри в силу теоремы а вне К будет следовательно, и подавно

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление