Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Особый случай.

Положим, что нам задана полоса, удовлетворяющая двум соотношениям (80) и такая, что вдоль этой полосы определитель (87) равен нулю:

Положим, что существует интегральная поверхность проходящая через такую полосу, причем имеет непрерывные производные второго порядка. Если не равны одновременно нулю, то из (96) и второго из соотношений

(80) следует, что наша полоса удовлетворяет уравнениям (66), в которых s надо заменить буквой t. Но тогда приведенные в [6] вычисления покажут нам, что эта полоса удовлетворяет и всем уравнениям (68), т. е. является характеристической полосой. Таким образом, если, при выполнении условия (96), существует интегральная поверхность, содержащая заданную полосу, то эта полоса должна быть характеристической полосой (причем считается, что равны одновременно нулю). При этом, совершенно так же, как и в случае линейного уравнения, через эту полосу может проходить, вообще говоря, бесчисленное множество интегральных поверхностей. Надо провести некоторую полосу , которая имеет с полосой (74) некоторую общую точку и общие в этой точке и притом так, чтобы вдоль новой полосы определитель (87) был отличным от нуля. При выполнении некоторых условий через эту полосу проходит определенная интегральная поверхность, которая будет содержать характеристическую полосу (74), ибо она содержит ее начальный элемент. Ввиду произвольности в выборе полосы , мы и имеем бесчисленное множество решений задачи.

Если вдоль заданной полосы но полоса не является характеристической, то решение задачи невозможно, если говорить о функциях имеющих непрерывные производные до второго порядка. Но может случиться, что соответствующая линия будет особой для интегральной поверхности. Заметим при этом, что при проведении метода Коши нами были использованы производные второго порядка функции . Если выполнено равенство (96) и полоса не характеристическая, то вдоль этой полосы удовлетворены только первые три из уравнений системы (68). На доказательстве высказанных выше утверждений мы не останавливаемся.

Предыдущие рассуждения имеют простой геометрический смысл. Если нам задана некоторая линия первое из условий (80) показывает, что вдоль этой кривой плоскость, определяемая величинами должна касаться конуса T, а второе условие равносильно тому, что эта плоскость должна содержать касательную к . Вспоминая уравнение (64) образующих конуса, мы видим, что условие равносильно тому факту, что вдоль касательные к не совпадают с образующими конуса Т. Разрешимость уравнений (86) относительно сводится к возможности проведения плоскости, которая содержит касательную к и касается конуса Т. Положим, что мы можем через касательные к провести плоскости, которые касаются Т и непрерывно меняются вдоль должны иметь непрерывные производные).

Мы дополним таким образом кривую l до полосы u, принимая эту полосу за начальные значения в решениях (73), будем

иметь интегральную поверхность. Если касательные к l являются образующими конусов T, мы будем иметь, проводя касательную плоскость к конусу вдоль соответствующей образующей, значения вдоль Т. Полученная таким образом лоса может оказаться характеристической полосой. В этом случае задача имеет бесчисленное множество решений. Достаточно пересечь кривую другой кривой касательная к которой в точке пересечения лежит в той же плоскости, что и касательная к но не совпадает с этой касательной, и такую, что вдоль касательные не совпадают с образующими конусов Т. Интегральная поверхность, проведенная через будет содержать и . Может, наконец, случиться, что касательные к кривой l совпадают с образующими конусов T, но что эта кривая не характеристическая, т. е. что ее дополнение до полосы указанным выше приемом не приводит к характеристической полосе. Из каждой точки в этом случае мы все же можем выпустить характеристическую полосу, имея начальные значения Если эти характеристические полосы образуют интегральную поверхность с явным уравнением то линия является особой линией на построенной интегральной поверхности. Эти рассуждения имеют лишь иллюстративное значение.

Отметим один важный тип интегральных поверхностей уравнения (59). Фиксируем некоторую точку При этом второе из соотношений (80) будет выполняться при любых значениях так как все производные, входящие в это соотношение, обращаются в данном случае тождественно в нуль. Мы получаем одно первое из соотношений (80), которое даст нам, вообще говоря, бесчисленное множество значений для Это будут как раз те значения которые определяют возможные положения касательной плоскости в фиксированной точке Мы можем, как и выше, считать функциями некоторого параметра t. Подставляя фиксированные значения и упомянутые выше выражения в формулы (73), мы получим интегральную поверхность уравнения (59), имеющую вид конической поверхности с вершиной . Эта поверхность будет иметь, вообще говоря, криволинейные образующие, которые в вершине будут касаться образующих конуса Т. Эту поверхность называют обычно интегральным коноидом уравнения (59) с вершиной . Можно показать, что решение задачи Коши может быть сведено к следующему построению. Строятся интегральные коноиды, имеющие вершины на заданной кривой и берется их огибающая, что и приводит к решению задачи. Все последние утверждения требуют, конечно, строгих аналитических доказательств, на которых мы не будем останавливаться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление