Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

125. Примеры.

Обратимся теперь к примерам построения функции Грина и начнем с построения этой функции для круга Мы имели раньше функцию, преобразующую этот круг в себя, при условии, что некоторая точка находящаяся внутри круга, переходит в начало. Эту функцию мсжно записать в виде

где — комплексное число, сопряженное с и — точка, симметричная с а относительно окружности, т. е. а Обозначая через расстояния переменной точки до точек а и а, получим непосредственно следующее выражение функции Грина для круга;

Положим теперь, что область В есть прямоугольник с вершинами Полагая и строим функцию Вейерштрасса . Мы видели, что функция, преобразующая наш прямоугольник в единичный круг так, что точка переходит в начало, имеет вид

Таким образом, мы имеем следующее выражение функции Грина для прямоугольника:

Теория функций комплексного переменного может быть применена и при построении функций Грина для многосвянной области, причем мы, как и выше, ограничиваемся предельным условием (189) на I. Пусть В, например, — двусвязная область, ограниченная внешним контуром и внутренним и пусть — функция Грина этой области. Строим функцию

монически сопряженную с и функцию комплексного переменною . В точке которая является полюсом функции Грина, функция будет иметь логарифмическую особенность, а именно, в окрестности той точки она может быть представлена в виде суммы и слагаемого, регулярного в этой точке. Но, кроме того, при обходе по замкнутому контуру вокруг h функция будет приобретать некоторое чисто мнимое слагаемое а функция будет приобретать множитель , по модулю равный единице. Кроме того, эта последняя функция будет иметь в точке простой корень, а на контурах U и h ее модуль будет равняться единице, так как на этих контурах функция Грина обращается в нуль. Таким образом, построение функции Грина сводится к построению такой аналитической функции которая имеет внутри мноюсвязной области В однозначный модуль, равный единице на контуре области, и точку имеет единственным простым корнем.

В качестве примера рассмотрим случай кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями. Примем центр этих окружностей за начало и будем считать, что радиусы этих окружностей равны. где Этого всегда можно достигнуть при помощи подходящим образом выбранного преобразования подобия. Введем вместо z новую переменную v по формуле и рассмотрим наряду с h чисто мнимое число определенное формулой . Упомянутому выше кольцу соответствует на плоскости v часть полосы, образованной прямыми параллельными вещественной оси, и ограниченной двумя прямыми, параллельными мнимой оси, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном двум

Функция как функция от v должна быть аналитической функцией во всей упомянутой полосе. Переход от и к равносилен обходу вокруг начала в кольце, и при этом должна приобретать множитель, по модулю равный единице. На границах полосы должно быть выполнено условие и если есть полюс функции Грина в плоскости z, то функция как функция от v должна иметь простые корни в точках , определяемых равенством . Этими точками и должны исчерпываться все корни внутри полосы. Мы можем считать а вещественным положительным числом. Этого всегда можно достигнуть простым поворотом кольца вокруг начала Нетрудно проверить, что функция

будет удовлетворять всем поставленным выше условиям. В написанной формуле суть функции, определенные нами в и буквой Р мы обозначили для определенности чисто мнимое решение уравнения Для проверки всех свойств функции нам надо использо вать таблицы (109) и (110) из [III; 178], а также тот факт, что при вещественных h функции имеют мнимые сопряженные значения для мнимых сопряженных значений v. Имея функцию мы получим функцию Грина по формуле

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление