Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

128. Нормальная производная собственных функций.

Для дальнейшего нам важно изучить поведение производных функций при приближении к

Теорема. Функции имеют правильную нормальную производную на

Составим потенциал объемных масс:

Он определен во всем пространстве, непрерывен, имеет непрерывные производные первого порядка, равен нулю на бесконечности, есть гармоническая функция внутри , а внутри имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению:

Мы можем построить потенциал простого слоя;

удовлетворяющий на S предельному условию:

причем надо иметь в виду, что имеет производные первого порядка, непрерывные во всем пространстве. Составим функцию:

Она гармоническая внутри , равна нулю на бесконечности и имеет на S правильную нормальную производную извне, равную нулю К функции применима в формула Грина [102], из которой следует, что в , а тем самым и на S. Внутри функция удовлетворяет, в силу (244), уравнению

откуда следует, что в D, функция совпадает с т. е.

где определены выше. Из этого и свойств и но следует, что собственная функция имеет на S правильную нормальную производную. Благодаря этому, мы можем применить к функции гармонической) формулу Грина:

Принимая во внимание уравнение и условие (2372), а также нормированность функций , т. е.

мы получаем формулу

из которой следует, что все положительны. Последний результат можно получить и проще. Он непосредственно следует из теоремы, утверждающей, что уравнение (231) при и условии (232) имеет только нулевое решение. Эта теорема будет нами доказана в [136].

О более полных результатах по гладкости собственных функций вблизи S см. [143, 149].

В случае плоскости доказательство существования правильной производной у собственных функций проводится путем видоизменения предыдущего доказательства, аналогично тому, что мы делали в при доказательстве существования правильной нормальной производной у функции Грина

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление