Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

130. Уравнение Гельмгольца и принцип излучения.

Рассмотрим волновое уравнение

и будем искать его решение в виде установившегося синусоидального режима заданной частоты:

Для v мы получаем уравнение Гельмгольца:

по виду схожее с уравнением Лапласа. Выясним, прежде всего, условие, которому должны удовлетворять решения этого урав нения на бесконечности. Мы уже упоминали об этом условии в и назвали его принципом излучения. Мы дадим в настоящем параграфе точную математическую формулировку этого условия. Пусть имеется установившийся режим вне некоторой поверхности S. Проведем сферу с центром в некоторой точке М, находящейся вне S, и достаточно большим радиусом, так, чтобы S лежала внутри применим формулу Кирхгофа [II; 212] (в ней

к решению (251). В написанной формуле интегрирование совершается по S и Для решения (251) мы имеем при

и при интегрировании по получим интеграл вида

причем под знаком интеграла надо положить Естественно потребовать, чтобы последнее выражение стремилось к нулю при (отсутствие источника колебания по бесконечности). Элемент площади поверхности сферы содержит множитель и указанное выше условие будет выполнено, если мы подчиним v двум требованиям:

при причем эти условия должны быть выполнены при любом выборе начала радиусов-векторов и равномерно относительно направления этих радиусов-векторов. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями. Через мы будем обозначать такую величину , что отношение остается ограниченным при и через мы будем

обозначать такую величину что отношение при причем это должно иметь место равномерно относительно направления радиуса-вектора и независимо от выбора его на чала. Предыдущие условия могут быть записаны в виде

Эти условия и представляют собою математическую формулировку принципа излучения в трехмерном случае. Совершенно аналогично в двумерном случае условия имеют вид

Основным сингулярным решением, удовлетворяющим прин ципу излучения, будет в трехмерном случае решение:

где — расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированнной точки О до переменной точки Р. Дифференцируя решение (258), по , убеждаемся, что оно удовлетворяет условию, более силь ному, чем условие (255), а именно вместо о справа будет стоять При этом мы считаем, что в формуле (255) расстояния отсчитываются от той же точки О. Проверим теперь формулы (254) и (255), считая, что расстояния отсчитываются от другой точки О], и обозначим Ограниченность непосредственно вытекает из того, что Формула (255) проверяется простым дифференцированием решения (258) по через посредство . При этом мы имеем

где v — угол между направлениями применяя формулу для квадрата стороны в треугольнике мы получаем

В плоском случае основным решением, удовлетворяющим принципу излучения, будет решение , где вторая функция Ханкеля, Чтобы проверить это, достаточно воспользоваться асимптотическим выражением функций Ханкеля и формулой

При этом условие (257) будет выполнено в усиленной форме, а именно справа вместо о будет стоять . Умножим это решение на такой постоянный множитель, что бы сингулярность при сводилась к Мы получим таким образом решение

Как и выше, можно показать, что принципу излучения будут удовлетворять и решения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление