Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

131. Теорема единственности.

При наличии принципа излучения может быть доказана теорема единственности, т. е. если функция v удовлетворяет вне некоторого замкнутого контура l уравнению (252), на бесконечности принципу излучения и на контуре l однородному предельному условию, например условию или она тоокдественно равна нулю.

Применим формулу

к области ограниченной изнутри контуром и извне окружностью с центром в некоторой фиксированной точке и достаточно большим радиусом, и положим , где комплексно сопряженная с v. Считаем, что v непрерывна вплоть до l и имеет правильную нормальную производную. В силу (252) двойной интеграл будет равен нулю, и, в силу предельного условия, интеграл по также будет равен нулю. Останется интеграл по и на этом контуре направление совпадает с направлением . Условие (257) дает нам возможность заменить

и таким образом мы приходим к равенству

Так как ограничены при то последние два слагаемых стремятся к нулю, и, вводя полярный угол на

окружности мы имеем

Применим теперь формулу Грина к решению v и к первому из решений (262). Двойной интеграл по-прежнему сократится и останутся интегралы по l и а потому величина интеграла по не зависит от . Оба взятые решения удовлетворяют принципу излучения, причем решения (262) удовлетворяют условию (257) в усиленной форме, как и решение Пользуясь, как и выше, условием (257), мы получим, что интеграл по стремится к нулю, и поскольку его величина не зависит от , он просто равен нулю, т. е.

Если положить

то это дает

откуда , где постоянная, причем .

Совершенно аналогично получим для

выражения , где тоже постоянная.

Уравнение замкнутости и формула (264) показывают, что при фиксированном

Но из асимптотического выражения следует, что остается по модулю большим некоторого положительного числа при больших , откуда следует, что а отсюда вытекает, в силу уравнения замкнутости, что v равно нулю на окружностях

Если l есть окружность, то, взяв за окружности, концентрические с мы получим, что v тождественно рявно нулю вне что и требовалось доказать, В случае общего контура

предыдущие рассуждения показывают, что v обращается в нуль в окрестности бесконечно далекой точки. Дальше мы покажем [132], что должна быть, как и для уравнения Лапласа, аналитической функцией, и, согласно принципу аналитического продолжения, из обращения v в нуль в окрестности бесконечно далекой точки следует, что везде вне l. Совершенно аналогичным образом теорема единственности доказывается и в трехмерном случае.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление