Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

140. Линейные уравнения более общего вида.

Рассмотрим уравнение вида

Координаты или точек пространства мы в дальнейшем будем обозначать просто или

Пусть ищется решение уравнения (372), удовлетворяющее однородному предельному условию:

Заданные функции мы считаем непрерывными в замкнутой области , и имеющими непрерывные производные первого порядка внутри

Совершенно аналогично тому, что мы делали в [137], будем искать решение указанной задачи в виде

где - функция Грина оператора Лапласа с предельным условием (373). Это последнее условие для функции определенной формулой (374), выполнено при любом выборе непрерывной функции и надо подобрать эту функцию так, чтобы внутри D, удовлетворялось уравнение (372). Считая, что имеет непрерывные производные, получим для интегральное уравнение

с ядром

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

Надо выяснить, имеет ли оно решения, отличные от нулевого. Положим, что и пусть решение уравнения (377). Формула (374) при Дает решение уравнения удовлетворяющее условию (373). Но такое решение равйо тождественно нулю [136], т. е.

Из формулы (377) при непосредственно следует, что должно иметь внутри непрерывные производные и, применяя к обеим частям формулы (378) оператор Лапласа, получим т. е. уравнение (377) имеет при только нулевое решение, а следовательно, уравнение (375) разрешимо при любом свободном члене. Поскольку имеет, по условию, внутри непрерывные производные первого порядка, можно утверждать, что и имеет такие же производные, откуда следует, что формула (374) дает решение поставленной выше задачи. Можно показать, что однородное уравнение (377) имеет только нулевое решение, независимо от знака в том случае, если область достаточно мала. Все сказанное выше применимо и в плоском случае. Если применить указанный выше метод для уравнения

то мы придем к интегральному уравнению с ядром:

Если для производных функции Грина имеет место оценка

то к упомянутому интегральному уравнению применимы обычные теоремы.

Сравнительно простое доказательство этой оценки имеется в заметке Эйду с а Д. М. - ДАН СССР, 1956, 106, № 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление