Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

145. Первое основное (энергетическое) неравенство.

Предположим, что коэффициенты оператора L из (402) удовлетворяют условиям п. [144], а именно при любых вещественных

где — какие-либо числа (не обязательно положительные). Введем сокращенные обозначения;

Будем считать параметр К и все функции вещественными, хотя проводимые ниже рассуждения легко обобщаются и на случай комплексных . Мы будем использовать неравенство

которое является обобщением неравенства Буняковского — Шварца [II; 161] (и доказывается так же, как последнее), и элементарное неравенство

справедливое для любых чисел а, b и любого . Оценим , определенное в (405), снизу, используя предположения (413) и неравенство (415), следующим образом;

Отсюда, в силу (416), вытекает

при любом . Пусть и есть обобщенное решение класса задачи (403), так что для него справедливо тождество (407). Полагая в , получим равенство

Из него, используя (417), неравенство Буняковского — Шварца и (416), извлекаем такое неравенство:

где — произвольное положительное число. Его и называют первым основным (или энергетическим) неравенством. Из (419) видно, что норма . решения и задачи (403) оценивается сверху через . Если же

то (419) дает возможность оцепить норму только через . Действительно, возьмем, например, таким, чтобы . Тогда элементарные подсчеты показывают, что и из (419) следует желаемая оценка:

или, короче,

Благодаря ей имеет место следующая теорема единственности: Теорема 1. Если коэффициенты L удовлетворяют условиям (413) и выполнено условие , то задача (403) имеет

не более одного об. решения класса (область D при этом может быть и неограниченной).

Действительно, для разности и двух возможных обобщенных решений задачи (403) справедливо тождество (407) с потому и неравенство (422) с из которого следует, что , т. е.

Для ограниченных областей D можно ослабить условие (420). Чтобы сделать это, воспользуемся неравенством

(неравенство (32) из справедливым для любой функции и ограниченной области D. При из (419) следует

и потому, если

то, беря в получим

Отсюда же и из (419), взятого, например, с следует и оценка полной нормы и в а именно:

Условие (425) выполнено, например, для при всех . Условие же (420) для не выполняется. Если коэффициенты заданы в какой-либо области и для них справедливы предположения (413) в области то условие (425) выполняется для любого фиксированного X (в частности, для если область взять достаточно малого объема, ибо при . В связи с этим говорят, что в областях «достаточно малого объема» для задачи (403) справедлива теорема единственности.

Замечание. В мы доказали, что если стремится к нулю диаметр D. Более тонкие рассуждения показывают, что CD пропорциональна .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление