Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16. Случай любого числа переменных.

Полным интегралом уравнения

называется решение этого уравнения:

содержащее произвольных постоянных и такое, что исклю чение из уравнений

и уравнения (135) приводит к уравнению (134). Будем считать, что суть функции параметров:

Подставляя эти выражения в формулу (135) и исключая параметров из уравнений

мы получаем общий интеграл уравнения (134). Он зависит от выбора функций (136). Переходим к решению задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность уравнения (134), содержащую заданное многообразие измерений:

Решение этой задачи производится совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных. Подставляя выражения (138) в формулу (135), мы придем к равенству вида

Присоединяя к этому равенству еще равенств, полученных дифференцированием последнего равенства по

будем иметь уравнений, из которых можно определить как функции параметров т. е. из этих уравнений определяются функции (136). Полученные функции подставляем в формулы (137) и, исключая из уравнений будем иметь интегральную поверхность, содержащую многообразие (138). Отметим, что в формуле (139) число независимых параметров может оказаться меньше, чем Вместо (140) при этом надо дифференцировать по не зависимым параметрам.

Если фиксировать значение параметров то уравнений (137) с переменными определят некоторую линию в -мерном пространстве. Присоединяя еще уравнения ), дополняем эту линию до полосы первого порядка. Эта полоса принадлежит двум интегральным поверхностям огибающей поверхности, которая получается исключением параметров из (137), и одной из огибаемых поверхностей. Поэтому эта полоса должна быть характеристической полосой, т. е. должна удовлетворять системе Коши (98). Это даст возможность, зная полный интеграл (135), построить решение системы (98), зависящее от произвольных постоянных. Будем считать для простоты, что есть функция причем эти последние играют роль параметров формулы (137) и (1350 примут вид

где через мы обозначим производную от по . Формулы (141) определяют упомянутую выше полосу первого порядка, причем не только но и можно считать произвольными, поскольку произволен выбор функции . Докажем формально, что полоса, определяемая формулами (141), удовлетворяет системе (98).

Подставляя в уравнение (134) вместо и и их выражения (141), мы должны получить тождество относительно . Дифференцируя это тождество по получим

Умножая последнее равенство на складывая его с предыдущим и пользуясь (141), мы будем иметь следующие равенств:

С другой стороны, беря полный дифференциал от левой части второго из уравнений (141), мы получим следующие равенств:

Считая, что по крайней мере один из определителей порядка составленный из коэффициентов системы (142) или (143), отличен от нуля, мы можем утверждать, что должны быть пропорциональны т. е. выполняются соотношения

Далее из (141) следует, что и мы можем дополнить написанные выше равенства:

Возвращаемся вновь к тождеству, которое получается, если в уравнение (134) подставить вместо и и их выражения (141), и дифференцируем это тождество по

Умножая на и заменяя, в силу (144), , мы получим

Но

и, следовательно,

и мы получаем таким образом окончательно систему

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление