Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17. Теорема Якоби.

Рассмотрим теперь тот частный случай уравнения (134), когда оно не содержит искомой функции и и разрешено относительно одной из производных. Для симметрии письма обозначим независимые переменные через и положим, что уравнение разрешено относительно т. е. что оно имеет вид

Соответствующая этому уравнению система (145) запишется в виде

Все написанные отношения, кроме последнего, не содержат и u, и мы получаем так называемую каноническую систему:

причем мы считаем функциями от t. Если нам удастся проинтегрировать эту систему, то найдется из (146), а и определится при помощи квадратуры из уравнения

Поскольку уравнение (146) не содержит и, ко всякому решению этого уравнения мы можем прибавить произвольную постоянную. Положим, что мы имеем полный интеграл уравнения (146), который должен содержать произвольных постоянных, причем одну из них в виде слагаемого:

Применим к данному случаю равенства (141), причем роль у нас будет играть постоянная Принимая во внимание, что в данном случае мы получаем общий интеграл канонической системы в следующем виде:

В этом состоит известная теорема Якоби, о которой мы уже упоминали в [IV,; 91].

Отметим, что если уравнение (134) не содержит искомой функции и, но не разрешено относительно какого-либо т. е. имеет вид

то соответствующая этому уравнению система (145) будет

и мы получаем опять каноническую систему

в которой роль независимого переменного играет вспомогательный параметр s. Если мы сумеем проинтегрировать эту систему, то и найдется с помощью квадратуры.

Изложенная выше теорема Якоби показывает нам, каким образом можно, имея полный интеграл уравнения (146), проинтегрировать соответствующую каноническую систему. Метод Коши, изложенный нами в [12], показывает, что и наоборот, умея проинтегрировать систему (147), мы можем находить решения уравнения (146), удовлетворяющие любым начальным условиям Коши, и, пользуясь этим, нетрудно показать, что, в частности, может быть построен и полный интеграл уравнения (146).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление