Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20. Системы линейных уравнений.

Для обобщения метода Лагранжа — Шарпи на случай любого числа независимых переменных нам надо предварительно рассмотреть вопрос об интегрировании системы линейных однородных уравнений с одной искомой функцией Рассмотрим такую систему, содержащую m уравнений

где коэффициенты мы считаем непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями независимых переменных и через обозначили для краткости левую часть уравнения. Ставится вопрос об отыскании функции , которая удовлетворяла бы одновременно всем уравнениям системы (163). Говоря о решении системы (163), мы исключаем очевидное решение которое для нас не имеет интереса. Мы предполагаем, что уравнения (163) линейно-независимы, т. е. что не существует множителей которые могут быть функциями таких, что среди них есть отличные от нуля, и имеет место соотношение

тождественное относительно в некоторой области изменения этих переменных и Если бы такие множители существовали и хоть один из них был отличным от нуля, то левая часть одного из уравнений (163) выражалась бы линейио через левые части остальных уравнений. Это уравнение было бы следствием остальных, и мы могли бы его вычеркнуть. Положим, что , и рассмотрим первые уравнений системы. Поскольку эти уравнения линейно-независимы, определитель, составленный из ил коэффициентов, должен быть отличным от нуля Но тогда однородная относительно система имеет только нулевое решение откуда следует, что т. е. при система не имеет решений (кроме очевидного). Мы будем таким образом в дальнейшем предполагать, что

Мы можем образовать новые линейные однородные уравнения, которые являются следствием уравнений (163), но могут оказаться линейно-независимыми с уравнениями (163). Предварительно установим ряд элементарных тождеств Если любые две функции независимых переменных мы имеем следующие два очевидных тождества:

Заменим в выражении функцию и левой частью уравнения, т. е. выражением Принимая во внимание (164), мы получим

и совершенно так же

Далее, очевидно, можно написать, пользуясь производными второго порядка функции и:

и последнее выражение не меняется при перестановке значков i и k, т. е.

и мы получаем следующую формулу:

правая часть которой представляет собой линейную однородную функцию от с коэффициентами, зависящими от . Распространим понятие скобок Пуассона на случай любого числа независимых переменных. Если любые функции переменных то мы определяем, по аналогии с прежним определением, скобку Пуассона этих двух функций следующим равенством:

Положим в этой формуле . При этом

Подставляя это в правою часть формулы (166), получим

или что то же

Сравнивая с правой частью формулы (165), мы приходим к важному тождеству

Если V удовлетворяет всем уравнениям системы (163), т. е.

то эта функция должна удовлетворять и линейному однородному уравнению

при любом выборе значков i и k. Придавая значкам всевозможные значения, мы составим таким образом новых линеиных однородных уравнений, которые являются, в указанном смысле, следствием системы (163), Некоторые из этих новых уравнений могут превратиться в тождество, т. ею все их коэффициенты при могут оказаться равными нулю. Непревратив шиеся в тождество новые уравнения будем присоединять в некотором определенном порядке к уравнениям системы (163), испытывая каждый раз, но является ли присоединяемое уравнение линейной комбинацией уже имеющихся уравнений Если это так, то такое уравнение мы, конечно, не будем присоединять. Проделывая это со всеми уравнениями, мы получим новую систему, в которой число уравнений может оказаться ббльшим, чем для новой системы будем опять составлять скобки Пуассона из левых частей, не повторяя, конечно, тех скобок Пуассона, которые мы уже составляли для исходной системы. Полученные новые уравнения будем, как и выше, присоединять к системе. Продолжая этот прием, мы можем иметь два различных случая. Может случиться, что мы придем к такой системе, в которой число уравнений будет равно п. Такая система имеет только тривиальное решение

u = const, а следовательно, и первоначальная наша система имеет только тривиальное решение. Вторая возможность состоит в том, что мы придем к такой системе с числом уравнений, меньшим, чем , для которой все новые уравнения, получаемые при помощи скобок Пуассона, оказываются линей ными комбинациями уравнений самой системы. Такая система называется полной. Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что наша первоначальная система или имеет только тривиальное решение, или равносильна некоторой полной системе, и мы приходим, таким образом, к задаче интегрирования полной системы. Будем предполагать, что наша первоначально написанная система (163) является уже полной, т. е. всевозможные скобки Пуассона суть линейные комбинации левых частей уравнений

где коэффициенты суть функции или эти скобки обращаются тождественно в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление