Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21. Полные и якобиевы системы.

Выясним некоторые основные свойства полных систем. Введем вместо новые независимые переменные

Причем мы считаем, что написанное преобразование разрешимо относительно . В новых независимых переменных система (163) будет иметь вид

где, согласно правилу дифференцирования сложных функций,

При любом выборе функций и мы имеем причем правая часть выражена через независимые переменные а левая - через независимые переменные Следовательно, при любых значках i и k

и

Принимая во внимание (167) и (169), мы можем написать:

где коэффициенты получаются из коэффициентов простым переходом к новым независимым переменным. Мы видим, таким образом, что если первоначальная система была полной, то и новая система, полученная в результате любой замены независимых переменных, также будет полной.

Выясним теперь второе свойство полных систем. Составим m линейных комбинаций левых частей уравнений (163):

причем коэффициенты считаютсй зависящими от и определитель, составленный из этих коэффициентов, считается отличным от нуля. При этих предположениях система уравнений

будет, очевидно, равносильна системе называть новую систему эквивалентной системе (163). Покажем, что если первоначальная система была полной, то и любая эквивалентная ей система будет полной. Действительно, скобка Пуассона будет представлять собою сумму выражений вида

или, в силу (164), сумму выражений вида

Принимая во внимание, что все выражения суть линейные комбинации мы видим, что и скобка Пуассона выражается линейно через а следовательно, и через что и доказывает полноту системы (171). Введем теперь новое понятие, которое является частным случаем понятия полноты, а именно: мы будем называть систему (163) якобиевой системой, если для нее все скобки Пуассона обращаются тождественно в нуль, т. е. если в этих скобках все коэффициенты при равны тождественно нулю. Нетрудно при помощи элементарных алгебраических операций преобразовать полную систему в якобиеву. Действительно, рассмотрим первоначальную систему (163), которую мы считаем полной. Поскольку уравнения этой системы линейно-независимы, таблица ее коэффициентов имеет ранг и мы можем решить уравнения системы относительно из величин Не ограничивая общности, мы можем считать, что уравнения системы разрешимы относительно т. е. вместо системы (163) мы можем написать эквивалентную ей систему вида

Эта система, по доказанному выше, должна быть полной. Покажем, что она будет и якобиевой. Обозначим, по-прежнему, через левые части уравнений написанной системы. Мы должны показать, что в формуле (169) все коэффициенты равны тождественно нулю. Из вида системы (172) и определения скобок Пуассона непосредственно следует, что выражение, стоящее в левой части (169), не содержит при а в правой части коэффициент при равен, очевидно, . Отсюда и вытекает непосредственно, что все коэффициенты должны быть равны нулю, т. е. система (172) действительно является якобиевой. Заметим, что не всякая якобисва система должна обязательно иметь вид (172), но, в силу доказанного выше, при приведении полной системы к виду (172) она оказывается якобиевой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление