Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Скобки Пуассона.

Мы используем полученные впше результаты для построения метода нахождения полного интеграла нелинейного уравнения первого порядка в случае любою числа независимых переменных. Предварительно нам надо будет рассмотреть, как и в случае двух независимых переменных, одну вспомогательную задачу. Пусть требуется определить функцию если заданы ее частные производные как функции независимых переменных

Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка, мы видим, что функции (175) должны удовлетворять следующим соотношениям:

Эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для определения функции и. Мы это доказывали раньше для случаев . Обобщая формулу Стокса на случай -мерного пространства, мы обнаружим, как и в случае что при выполнении условий (176) криволинейный интеграл

не зависит от пути и дает функцию и, имеющую частные производные (175).

Можно доказать достаточность условий (176) в общем случае, применяя метод полной индукции. Будем считать, что достаточность условий (176) доказана в случае независимых переменных, и докажем, что тогда это же утверждение будет справедливо и для переменных. Итак, положим, что функции (175) удовлетворяют соотношениям (176). Принимая во внимание, что мы считаем доказанным наше утверждение для независимых переменных, можем пользуясь первыми из функций (175), построить

функцию и независимых переменных имеющую частные производные Эта функция будет содержать в качестве параметра, ибо эта переменная входит в . Кроме того, мы можем добавить к функции и произвольную постоянную, которую можем считать функцией параметра

Таким образом мы получим функцию

которая удовлетворяет условиям

Остается еще подобрать так, чтобы удовлетворялось условие что приводит нас к уравнению

и нам остается убедиться в том, что правая часть написанного уравнения содержит только Дифференцируя по при и принимая во внимание (176) и то, что мы получим

что и требовалось доказать.

Положим теперь, что частные производные определены неявным образом при помощи уравнений:

которые мы считаем разрешимыми относительно . Докажем, что для того чтобы определяемые из уравнений (177), удовлетворяли соотношениям (176), необходимо и достаточно, чтобы все скобки Пуассона из левых частей равенств (177) обращались тождественно в нуль, т. е. мы должны иметь следующие тождеств относительно и

При этом мы предполагаем, что в уравнениях (177) правые части суть произвольные постоянные.

Возьмем два из уравнений (177) и продифференцируем их по независимому переменному

Умножая первое из этих уравнений на второе на , вычитая из второго первое и суммируя по s, мы получим

Меняя во второй сумме обозначение переменных суммирования, мы можем переписать последнюю формулу в виде

Если удовлетворяет соотношениям (176), то из последней формулы непосредственно вытекает, что должны быть выполнены при любых значках тождества (178). Положим теперь наоборот, что выполнены тождества (178), и докажем, что определяемые формулами (177), должны удовлетворять соотношениям (176). Если тождества (178) выполнены, то формула (179) переписывается в виде

причем мы можем придавать любые значения значкам i и k. Придавая значку k значения , мы получим равенств, которые можем рассматривать как однородных уравнений относительно величин

Определитель этой однородной системы представляет собою функциональный определитель от функций по переменным и мы считаем его отличным от нуля [система (177) разрешима относительно ]. Следовательно, мы можем утверждать, что величины (180) должны равняться нулю. Фиксируя значок и придавая i значения мы получим, таким образом, опять однородную систему относительно величин

определитель которой опять представляет собою функциональный определитель от по Отсюда непосредственно вытекает, что все величины (181) должны обращаться в нуль, что мы и хотели доказать. Итак, для того чтобы система (177) определяла которые являются частными производными некоторой функции а, необходимо и достаточно, чтобы функции находились попарно в инволюции. Мы предполагали, что правые части уравнений (177) суть произвольные постоянные, и, в связи с этим, было необходимо требовать, чтобы соотношения (178) выполнялись тождественно. Если мы фиксируем значение некоторых из этих постоянных, то достаточно потребовать, чтобы соотношения (178) выполнялись в силу полученных таким образом уравнений.

Отметим еще некоторые элементарные свойства скобок Пуассона. Если две какие-либо функции переменных и а и b — числа, то из определения скобок Пуассона непосредственно вытекают следующие соотношения:

Пусть еще некоторая функция упомянутых выше переменных. Имеет место следующее тождество:

которое называется обычно тождеством Пуассона. Написанное тождество содержит двойные скобки Пуассона. Для составления первого слагаемого в

написанной формуле мы должны составить скобку Пуассона и затем, пользуясь полученной таким образом функцией, составить скобку , Чтобы проверить тождество (182), заметим прежде всего, что каждое из слагаемых этого тождества содержит производные первого порядка. Ввиду симметрии написанного тождества относительно всех трех функций, а также относительно переменных чтобы проверить написанное Тождество, нам достаточно убедиться, что в левой части сократятся все члены, содержащие Пользуясь определением скобок Пуассона, мы убеждаемся в том, что коэффициент при в левой части тождества будет

Производя дифференцирование, мы без труда убедимся в том, что этот коэффициент действительно равен нулю

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление