Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

30. Типы уравнений второго порядка.

Изложение общей теории уравнений высших порядков мы начнем с исследования линейных уравненйй второго порядка. Пусть имеется линейное уравнение второго порядка для функции и независимых

переменных

Коэффициенты а, мы считаем заданными функциями независимых переменных и можем, очевидно, считать, принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка, что Все функции и независимые переменные мы считаем вещественными.

В основе общей теории лежит разделение уравнений на типы. Для уравнений, принадлежащих к различным типам, совершенно иначе ставятся основные задачи, употребляются различные приемы решения задач, и функции, удовлетворяющие уравнениям различных типов, обладают различными аналитическими свойствами. В настоящем параграфе мы дадим определения основных типов для уравнений вида (1). Для этого составим квадратичную форму от вспомогательных переменных

Придавая переменным определенные значения мы будем иметь квадратичную форму с численными коэффициентами. Если эта форма оказывается определенно положительной или определенно отрицательной [III; 35], то говорят, что уравнение (1) в упомянутой точке принадлежит эллиптическому типу. Далее, мы будем говорить, что уравнение принадлежит к эллиптическому типу в некоторой области D пространства если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу. Принадлежность к эллиптическому типу характеризуется тем, что в каждой точке области D квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты одного и того же знака, причем ни один из этих коэффициентов не должен равняться нулю.

Далее, мы говорим, что уравнение (1) в области D принадлежат гиперболическому типу, если квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент — противоположного знака. Если среди упомянутых коэффициентов нет равных нулю, и мы не имеем ни эллиптического, ни гиперболического типа, то иногда говорят, что уравнение принадлежит ультрагиперболическому типу. Если коэффициенты постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

уравнением гиперболического типа является волновое уравнение.

Принято, наконец, выделять из уравнений общего вида (1) еще один класс уравнений, называемых параболическими. Эти уравнения определяются не только коэффициентами при старших членах, но и коэффициентами при производных Для них квадратичная форма (2) после приведения ее к сумме квадратов должна иметь один коэффициент равным нулю, а остальные — одного знака. Как будет показано в следующем пункте, невырожденной линейной заменой независимых переменных уравнение (1) в фиксированной точке может быть приведено к виду

Условие параболичности уравнения (1) в точке состоит в том, что после такого приведения одно из (пусть для определенности ) равно нулю, остальные все положи тельны или все отрицательны, а коэффициент стоящий при производной отличен от нуля. Простейшим представителем параболических уравнений является уравнение теплопроводности

Переменные в нем обычно называют пространственными, а переменную временем.

Определенные нами классы (типы) уравнений не охватывают всех уравнений вида (1). Действительно, среди последних имеются такие, для которых несколько коэффициентов обращаются в нуль. Если при этом соответствующие им не обращаются в нуль, то иногда говорят, что уравнение в точке ультрапараболическое или параболическое с несколькими временами. В противном случае в уравнение вообще не войдут производные по некоторым направлениям, и соответствующие им будут играть роль произвольных параметров. Мы не будем рассматривать все возможные ситуации и ограничимся в дальнейшем изучением лишь тех случаев, когда уравнение во всей интересующей нас области принадлежит одному из классических типов: эллиптическому, гиперболическому или параболическому.

Если коэффициенты уравнения (1) содержат функцию и и ее частные производные их то мы можем говорить о типе уравнения, лишь фиксируя какое-либо решение этого уравнения. Подставляя в

коэффициенты, мы получим функции только от и можем на основании вышесказанного решить вопрос о тийе уравнения для данного решения

Если уравнение нелинейно:

то для определения гида уравнения для данного решения строят коэффициенты а, по формулам

и затем определяют тип линейного уравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление