Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Случай любого числа переменных.

Рассмотрим квазилинейное уравнение с любым числом независимых переменных:

В дальнейшем мы будем всегда считать, что коэффициенты при рассматриваемых значениях переменных и одновременно в нуль не обращаются, т. е. При исследовании уравнения (16) мы будем пользоваться геометрическими терминами по аналогии с трехмерным пространством. Детальных формулировок и доказательств мы проводить не будем. В данном случае мы имеем -мерное пространство с координатами . Назовем m-мерным многообразием в таком пространстве совокупность точек, координаты которых выражаются через произвольных параметров:

причем мы считаем, что какие-нибудь из написанных уравнений разрешимы относительно При мы имеем -мерное многообразие, которое мы будем называть поверхностью. Если за параметры принять то будем иметь явное уравнение поверхности: и Именно такой вид должно иметь уравнение интегральной поверхности уравнения (16). При соответствующее одномерное многообразие называется линией -мерного пространства.

Определим характеристики уравнения (16) следующей системой:

где s — вспомогательный параметр. Всякое решение этой системы порождает некоторую линию -мерного пространства, так как решение, в котором все — постоянны, не может существовать в силу нашего предположения, что Координаты этой линии будут выражаться через параметр s. Чтобы построить из этих линий поверхность, нам надо взять семейство таких линий, зависящее от произвольных параметров. В общем получится совокупность точек, зависящая от параметров. Если некоторая гладкая поверхность образована семейством характеристик, зависящим от параметров, то это. есть интегральная поверхность уравнения (16). Действительно, дифференцируя по s и пользуясь уравнениями (17), получим

Но, в силу последнего из уравнений, — Откуда и вытекает уравнение (16). Наоборот, всякую гладкую интегральную

поверхность и можно представить себе образованной семейством характеристик, зависящим от параметров. Действительно, имея интегральную поверхность мы можем определить из системы уравнений:

что даст нам произвольных постоянных. Одна произвольная постоянная, входящая аддитивно в s, не будет играть существенной роли. Подставляя решение системы (18) в правую часть дифференцируя по s и пользуясь уравнениями (16) и (18), мы убедимся в том, что и будет удовлетворять последнему из уравнений (17).

Мы считаем, как что и правые части уравнений (17) имеют непрерывные производные первого порядка.

Задача Коши для уравнения (16) состоит в определении интегральной поверхности, содержащей заданное (-мерное многообразие:

причем правые части этих равенств непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка внутри некоторой области -мерного пространства

Считается, что ранг матрицы, составленной из производных равен и что различным системам значений отвечают различные точки Далее, как упомянуто выше, предполагается, что коэффициенты имеют непрерывные производные первого порядка в некоторой области пространства, содержащей внутри себя многообразие (19).

В частном случае это условие в задаче Коши может состоять в задании искомой функции и при заданном значении одной из независимых переменных как функции от остальных переменных:

Решение задачи проводится совершенно аналогично случаю двух независимых переменных. Выражения (19) принимаем за начальные условия при интегрировании системы (17). Таким образом, мы получаем решение вида

Существенную роль в дальнейшем играет определитель:

который мы можем, принимая во внимание уравнения (17), переписать в виде

Если этот определитель на многообразии (19), т. е. при отличен от нуля, то первые из уравнений (21) можно решить относительно и, подставляя это решение в последнее из уравнений (21), мы получаем интегральную поверхность уравнения (16). Никаких других решений задача Коши в этом случае иметь не может. Все это доказывается совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных. Рассмотрим тот случай, когда начальное условие имеет вид (20); роль параметров играют Возьмем линейное уравнение и предположим, что определитель (23) на нашем многообразии отличен от нуля. Принимая во внимание, что при получим Деля уравнение на коэффициент придем к уравнению вида

Предположим, что а, b и с непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по при и произвольных вещественных . Положим, кроме того, что при этих условиях указанные функции ограничены:

Выбирая за независимую переменную, запишем систему (17) в виде

Пусть начальное значение из промежутка Проинтегрируем систему (25) при некоторых начальных уело» виях:

Из следует, что решения системы (25) имеют ограниченные производные и тем самым сами величины остаются ограниченными по абсолютной величине: . Применяя метод последовательных приближений [II; 51], мы легко убедимся в том, что упомянутые решения

существуют во всем промежутке а , при произвольных начальных данных Мы можем сказать, что интегральная кривая, проходящая через точку приходит в точку координаты которой определяются формулами (27). Принимая во внимание теорему единственности, можем утверждать, что если взять точку А за начальную, то соответствующая интегральная кривая пройдет через точку . Отсюда следует, что уравнения (27) при произвольных разрешимы относительно причем решение имеет вид

Положим, что мы хотим решить задачу Коши при начальном данном (20). Мы должны, согласно сказанному выше, проинтегрировать уравнения (25) и (26) при начальных данных

где произвольные величины играют роль Подставляя (27) в уравнение (26), интегрируем последнее уравнение:

где

и в аргументах бис стоят Подставляя в правую часть (28) выражение получим искомое решение задачи Коши. Оно будет существовать во всем промежутке а и при любых Это связано с линейностью уравнения и с теми предположениями, которые мы приняли относительно .

Для квазилинейного уравнения (16) можно указать область существования решения при некоторых предположениях относительно а и с. Приведем соответствующий результат.

Пусть и с непрерывны, ограничены и имеют непрерывные производные при условиях

и любых вещественных и, причем эти производные по абсолютной величине не превосходят некоторой постоянной А. Пусть непрерывна и ограничена при условиях (30) и имеет непрерывные производные первого порядка, которые по абсолютной величине не превышают некоторой постоянной В При этом уравнение при условии (20) имеет решение в области, определяемой неравенствами

и неравенствами (30) [Камке (Катке). Differentialgleichungen reeller Funk-tionen, Leipzig, 1952].

Рассмотрим теперь тот случай, когда на многообразии (19). Будем считать, что один из миноров определителя А, соответствующих элементам первой строки, отличен от. нуля. Равенство показывает, что при этом элементы первой строки представляют собою линейную комбинацию соответствующих элементов остальных строк, т. е. имеет место соотношение

где — определенные функции параметров Если на многообразии (19) и функция с представима формулой

то в этом случае многообразие (19) называется характеристическим многообразием для нашего уравнения. Можшэ показать, что всякое характеристическое многообразие (19) уравнения (16) может быть образовано характеристиками этого уравнения и что, если для многообразия и через

это многообразие проходит гладкая интегральная поверхность и то это многообразие должно быть характеристическим.

Через характеристическое многообразие может проходить бесчисленное множество интегральных поверхностей.

Совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, можно привести квазилинейное неоднородное уравнение (16) к чисто линейному однородному уравнению, если искать решение уравнения (16) в неявной форме:

где С — произвольная постоянная. Для функции получаем уравнение

Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет

Если

- ее независимые интегралы, то уравнение

где F — произвольная функция своих аргументов, дает решение уравнения (16) в неявной форме. В правой части последнего равенства мы пишем нуль вместо произвольной постоянной, поскольку F является произвольной функцией своих аргументов. Для построения интегральной поверхности, содержащей данное многообразие (19), мы подставим выражения (19) в левые части интегралов (34). Исключая из полученных таким образом уравнений параметров мы будем иметь соотношение между произвольными постоянными:

Левая часть этого соотношения и определит нам вид функции F. Подставляя в левую часть последнего уравнения вместо функции мы и получим уравнение искомой интегральной поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление