Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

Система (4) имеет вид

и ее решение, выраженное через начальные значения переменных , будет

Положим, что уравнения (7) линии через которую должна проходить иско мая интегральная поверхность, имеют вид

Подставляя в получим

определитель

обращается в нуль при т. е. вдоль . Линия (38) не является характеристикой уравнения (35), так как, в силу последнего из уравнений вдоль характеристики и должна быть постоянной. Имеется все же интегральная поверхность уравнения (35), проходящая через линию (38), а именно:

В данном случае и эта частная производная обращается в бесконечность вдоль линии (38).

2. Рассмотрим уравнение для функции и трех независимых переменных:

Составляя систему (17) и интегрируя ее, получим следующее решение, выраженное через начальные значения переменных:

Пусть требуется найти интегральную поверхность, содержащую многообразие

Подставляя эти выражения вместо начальных значений в уравнения (39), получим

Первые три уравнения разрешимы относительно (случай ):

подставляя эти выражения в последнее из уравнений (40), получим уравнение искомой интегральной поверхности:

3. Будем искать решение уравнения

непрерывное с производными первого порядка и удовлетворяющее условию при . Мы можем ввести замену переменных:

пользуясь которой без труда получим следующий ответ:

Эта формула действительно дает решение поставленной задачи, если функция имеет непрерывную производную. Если не обладает непрерывной производной, то поставленная задача не имеет гладких решений. Известно, что существуют непрерывные функции не имеющие нигде производной. Приведенный пример показывает существенность предположения о существовании и непрерывности производной уравнении (2). [Перрон (Perron). — Math. Z., 1928, 27, № 4.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление