Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

55. Случай любого числа независимых переменных.

Применение метода С. Л. Соболева для случая многих независимых переменных требует введения нескольких функций . Мы изложим применение этого метода для волнового уравнения с постоянным коэффициентом:

(см. Соболев С. Л. Об одном обобщении формулы Кирхгофа. — ДАН СССР, 1933, 1).

Через М мы будем обозначать точки в пространстве с координатами Кроме того, будем рассматривать пространство с координатами или Характеристический конус для (167) с вершиной имеет в уравнение

где

Через обозначается, как и выше, запаздывающее значение функции

т. е. значение на нижней относительно t половине конуса (168). Как мы уже отмечали [40], на характеристической поверхности имеются соотношения между функцией и, удовлетворяющей уравнению (167), и ее производными. Установим эти соотношения для производных от и по t:

причем мы будем рассматривать как функции в Отметим предварительно, что основное уравнение (124) имеет в данном случае вид

Производя дифференцирование функции по координатам как непосредственно, так и через посредство аргумента , мы получаем, пользуясь легко проверяемой формулой

где точка обозначает скалярное произведение в , следующую формулу:

Вводя оператор

можем переписать (172) в виде

Это и есть те соотношения, которые выполняются на конусе (168). Оператор L удовлетворяет соотношению

Для степеней мы имеем

Вводим функции

Мы имеем

Пусть D — некоторая область пространства не содержащая точки Составим интеграл кратности

Из (174) и (178) следует, что этот интеграл равен нулю. Принимая во внимание (175) и формулу

можем преобразовать интеграл (179) в интеграл по поверхности S, ограничивающей область Z). Учитывая еще формулу

мы можем написать

где — направление внешней нормали на S. Если область D содержит точку внутри себя, то предыдущая формула применяется

после выделения малой сферой. Переходя затем обычным образом к пределу, получаем следующую формулу:

где постоянная А определяется формулой

При формула (180) совпадает с формулой Кирхгофа. Если за поверхность S взять сферу с центром и радиусом , то запаздывающие значения производных функций и выразятся через начальные данные для при и мы получим в явном виде решение задачи Коши, которое мы имели раньше в другом виде [II; 184], Совершенно так же, используя формулу (180), можно решить задачу Коши и для того случая, когда начальные условия даны на поверхности . Отметим, что под знак интеграла будут входить и производные от начальных данных, так что для решения задачи нам надо требовать непрерывности производных от начальных данных до определенного порядка, зависящего от k, что мы отмечали и раньше. В работе С. А. Христиановича (Матем. сб., 1937, 2, № 5) этот метод был распространен на нелинейные гиперболические уравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление