Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

64. Кинематические условия совместности.

Для дальнейшего нам надо будет доказать одно предложение о дифференцировании функций вдоль поверхности. Для большей геометрической наглядности мы будем доказывать эту лемму для случая трех независимых переменных.

Пусть функция - непрерывна с одной стороны некоторой поверхности

вплоть до S, и предположим еще, что ее частные производные первого порядка также непрерывны с упомянутой стороны S и имеют определенные предельные значения . Если с той же стороны поверхности задана некоторая линия где имеют непрерывные производные по t, то вдоль функция f есть функция от и мы имеем

Лемма. Формула (11) имеет место, если l лежит на

Линию l мы можем предположить достаточно малой. Пусть ее концы и N — переменная точка на l. Проведем через N прямую, параллельную нормали к поверхности а точке причем нормаль направим в ту сторону, где определена функция f, и отложим на каждой из этих прямых отрезок NN одной и той же длины . Мы считаем, что концы N этих отрезков образуют некоторую линию которая не пересекает сама себя и лежит в той области, где определена функция f. Точки этой линии имеют координаты Вдоль l мы можем применить формулу (11):

Интегрируем обе части по t в пределах от значения соответствующего точке до переменного

где в левой части — значения f на в точках, соответствующих указанным значениям t. По условию f и непрерывны вплоть до S, и тем самым подынтегральная функция в правой части — равномерно непрерывная функция параметра . Переходя в последней формуле к пределу при получим

где слева стоят значения f на Дифференцируя обе части по t, получим формулу (11). Доказанной леммой нам придется пользоваться не только в этом параграфе, но и в следующей главе.

Переходим к случаю любого числа переменных и положим теперь, что некоторая функция непрерывна при переходе через поверхность

а ее частные производные первого порядка имеют с каждой стороны этой поверхности определенные пределы, но эти пределы различны на различных сторонах поверхности, т. е., короче говоря, производные первого порядка функции f имеют на поверхности (12) разрывы первого рода. Мы назовем две стороны поверхности положительной и отрицательной сторонами. Для обозначения пределов, получаемых на положительной стороне, мы будем приписывать к соответствующей величине знак а для отрицательной стороны знак (—). Так, например, условие непрерывности f при переходе через S мы можем записать в виде Введем в рассмотрение скачок для производных первого порядка:

Вдоль всякой линии лежащей на поверхности (12), по условию совпадают. Таким образом, применяя лемму, получим

На поверхности S переменные нельзя считать независимыми. Если, например, уравнение поверхности задано в явной форме, то одна из координат будет функцией остальных, а эти последние можно уже считать независимыми переменными.

Предыдущую формулу мы можем переписать в виде

Мы имеем, кроме того,

Умножим последнее равенство на неопределенный пока множитель h и вычтем из предыдущего:

Определим теперь множитель h так, чтобы коэффициент при дифференциале зависимого переменного обращался в нуль. Оставшиеся коэффициенты при дифференциалах независимых переменных, очевидно, должны быть равны нулю [I; 167], и мы приходим, таким образом, к следующим равенствам:

т. е. скачки производных первого порядка должны быть пропорциональны частным производным от левой части (12) по соответствующим переменным. Написанные условия называются обычно кинематическими условиями совместности.

Рассмотрим теперь тот случай, когда сама функция и ее производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (12), а разрыв непрерывности испытывают производные второго порядка. Наше предыдущее рассуждение применимо тогда для каждой из функций Каждая такая функция будет иметь свой коэффициент пропорциональности в кинематических условиях совместности, и скачок производной от функции f по всякой переменной должен быть пропорционален т. е. мы будем иметь следующие равенства для скачков производных второго порядка:

Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка дифференцирования как с положительной, так и с отрицательной стороны поверхности, мы можем написать т. e. Иначе говоря, отношение не должно зависеть от значка k. Полагая мы преобразуем окончательно последнюю формулу к виду

Эти формулы дают кинематические условия совместности для случая разрыва второго порядка, т. е. разрыва производных второго порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление