Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

69. Электромагнитные волны.

Рассмотрим первые два уравнения Максвелла для изотропной среды:

где Е и Н — напряжения электрического и магнитного поля, с — скорость света, — коэффициент проводимости среды, диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость. Векторы Е и Н являются функциями независимых переменных . Обозначим через составляющие этих векторов, можем переписать уравнения (36) в виде

причем ненаписанные члены не содержат производных от функций .

В данном случае мы имеем систему шести уравнений первого порядка с шестью функциями. Будем нумеровать эти функции в следующем порядке:

Составляя выражения (5) и написав уравнение (6), мы получим следующее уравнение первого порядка характеристических поверхностей:

Умножим элементы первых трех столбцов этого определителя на . После этого к элементам первого столбца прибавим элементы пятого столбца, умно женные на и шестого, умноженные на к элементам второго столбца прибавим элементы четвертого, умноженные на и шестого, умноженные на к элементам третьего столбца прибавим элементы четвертого, умноженные на и элементы пятого, умноженные на Разлагая затем по элементам шестой, пятой и четвертой строк, придем к уравнению

где

Раскрывая определитель, мы приходим к уравнению

которое распадается на два. Если приравнять нулю сумму, стоящую в скобках, то получим и будем иметь стационарную волну (43]. В дальнейшем остановимся на втором случае, когда т. е. когда

что дает известное выражение для величины скорости перемещения волны

Будем теперь рассматривать характер разрыва. Обозначим через коэффициенты прерывности для производных от составляющих вектора Е

и через аналогичные величины для составляющих вектора Н Введем, как всегда, в рассмотрение векторы прерывности Мы можем написать

Первые три из уравнений (18) запишутся в данном случае в виде

или, обозначая через вектор единичной нормали к поверхности волны направленный в ту сторону, где , мы можем написать последние уравнения в виде

причем справа стоит векторное произведение векторов . Совершенно так же последние три из уравнений (8) могут быть записаны в виде

Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что векторы лежат в касательной плоскости к волне и взаимно перпендикулярны

Положим, что перед поверхностью волны, т. е. там, где мы имеем покой, т. е. Е и Н равны нулю Формулы (44) дадут нам значение производных от векторов Е и Н на самой поверхности волны

Разложим Е и Н вблизи фронта волны в ряд Тейлора, доводя разложение до членов, содержащих производные первого порядка Принимая во внимание, что Е и Н обращаются в нуль на поверхности волны, мы можем написать, пользуясь формулами (48), следующие приближенные формулы:

где некоторая точка на поверхности волны. Применяя формулу Тейлора для функции соь можем написать, принимая во внимание, что

и предыдущие формулы могут быть переписаны в виде (ср. [66])

Эти приближенные формулы будут иметь место вблизи волны с той ее стороны, где имеется электромагнитный процесс.

В случае однородной анизотропной среды величину мы должны считать уже не числом, а симметричной таблицей из девяти элементов. Эта величина входит в формулу, связывающую вектор электрического смещения с вектором Величину будем по-прежнему считать числом. Выберем координатные оси так, чтобы таблица в привелась к диагональной форме, и пусть ее собственные значения [III; 32, 33]. При этом первые три из уравнений (37) будут иметь вид

и вместо уравнения (39) мы будем иметь уравнение

где

Вводя обозначения

мы можем написать

Деля обе части уравнения (50) на можем переписать его в виде

Мы имеем очевидное решение этого уравнения Принимая во внимание (51), мы видим, что есть возможная скорость распространения волны в любом направлении, параллельном плоскости Совершенно аналогично и суть возможные скорости распространения волны в направлениях, параллельных плоскостям . В общем случае мы можем переписать уравнение (52), умножив обе его части на и написав в виде [43]

Отбрасывая решение , которому соответствует стационарная волна, мы получим для определения V при заданном направлении волны, характеризуемом величинами , квадратное уравнение для :

Совершенно так же, как в [II, 149], можно показать, что это уравнение имеет два различных положительных корня для .

Если мы решим уравнение (50) или (52) относительно то получим уравнение вида

где F — однородная функция первого измерения. Поскольку уравнение (55) не содержит система Коши для этого уравнения приведет к постоянным значениям для , и бихарактеристики будут прямые линии. Их уравнение напишется в виде

Проведем характеристический коноид с вершиной в начале. Он представляет собою поверхность волиы от точечного источника в начале координат в различные моменты времени. Его уравнение будет или, при

Поскольку есть однородная функция нулевого измерения, правые части уравнений (56) содержат два параметра, а именно отношения двух из величин к третьей. Пусть S — поверхность (56), - некоторая точка на S и — расстояние от начала координат до касательной плоскости к S в точке Р. Если направляющие косинусы нормали к в точке Р, то мы имеем, применяя формулу Эйлера для однородных функций,

Беря для определенности знак что несущественно для дальнейшего, мы можем написать уравнение касательной плоскости в виде

В это уравнение входят четыре параметра и V, которые связаны двумя соотношениями:

так что уравнение (57) содержит два независимых параметра, как это и должно быть. Сама поверхность S будет огибающей семейства плоскостей (57), зависящего от двух параметров. Если проделать все вычисления, на которых мы не останавливаемся, то мы получаем следующее уравнение поверхности:

Если, например, то эта поверхность четвертого порядка вырождается в совокупность сферы и эллипсоида.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление