Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

73. Примеры.

1. Рассмотрим систему уравнений, которой определяются вещественная и мнимая части аналитической функции :

Мы имеем

и остальные равны нулю. Левая часть уравнения (6) при замене на имеет вид и, следовательно, система (91) имеет эллиптический тип. Принимая во внимание отмеченную выше связь этой системы с аналитическими функциями, можем утверждать, что всякое ее решение снепрерывными производными первого порядка есть аналитическая функция

2. Рассмотрим систему (Перрон (Perron)-Math. Z, 1927, 27, № 4)

где a — постоянная.

Левая часть уравнения (6) при замене - на а имеет вид и, следовательно, система — эллиптического типа при и параболического при Уравнение (85), если написать систему в форме, решенной относительно частных производных по имеет вид

и при оно имеет вещественные, различные корни, т. е. система гиперболическая при

Положим сначала, что Поступая, как указано в [72], вводим вместо новые функции:

и получаем два раздельных уравнения для

После введения новых независимых переменных:

система переписывается в виде

Найдем то решение системы (95), которое удовлетворяет начальному уело

Пользуясь (95), получаем

В исходных независимых переменных:

и согласно формулам (93) сможем определить , которые являются решением системы (92) и удовлетворяют начальным условиям:

Такое решение, очевидно, единственно.

При система (92) принимает вид

и мы получаем ее единственное решение, удовлетворяющее условиям (96):

причем мы должны предположить, что имеет непрерывную производную второго порядка.

Рассмотрим, наконец, тот случай, когда а Полагая

переписываем систему (92) в виде

Отсюда видно, что должна быть регулярной функцией и, в силу (96) и (97) эта функция при должна стремиться к вещественной функции

Мы можем утверждать, что упомянутая регулярная функция должна быть аналитически продолжима через прямую х = 0 и следовательно, должна быть аналитической функцией самой этой прямой . Тем самым функция (98), а потому и должны быть аналитическими функциями при вещественных у Разлагая функцию (98) по степеням , где какое либо вещественное число

мы получим

при z, близких к Зная , найдем согласно (97),

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление