Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

77. Собственные значения и собственные функции предельной задачи.

Поскольку мы привели предельную задачу к интегральному уравнению, мы можем использовать результаты общей теории интегральных уравнений и получить таким образом ряд утверждений, касающихся собственных значений и собственных функций предельной задачи. Рассмотрим сначала случай когда уравнение (1) имеет вид

причем мы считаем предельные условия такими, что функция Грина симметрична. Интегральное уравнение (12) будет уравнением с симметричным ядром. Оно будет иметь вещественные собственные значения, и его собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, будут ортогональны, В данном случае, как мы видели выше [74], всякому собственному значению будет соответствовать только одна собственная функция. Это мы доказали для предельных условий вида (2). В случае периодических предельных условий собственному значению могут соответствовать две собственные функции, но не

больше, поскольку уравнение (16) имеет только два линейнонезависимых решения. Докажем еще, что ядро уравнения (16) есть полное ядро, т. е. что не существует непрерывной функции не равной тождественно нулю и ортогональной к ядру. Положим, наоборот, что такая функция существует:

Мы получим тогда, что функция (9), с одной стороны, должна обращаться тождественно в нуль и, с другой стороны, должна, в силу доказанного выше, удовлетворять неоднородному уравнению (8), что невозможно. Из полноты ядра вытекает, как из вестно [IV,; 42] существование бесчисленного множества собственных значений. Пусть - собственные значения уравнения (16), т. е. нашей предельной задачи, и соответствующие собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Положим, что функция удовлетворяет предельным условиям и имеет непрерывные производные до второго порядка. Полагая мы полу представление этой функции через ядро

и, следовательно, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго порядка в промежутке разлагается в этом промежутке в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям Легко доказать еще следующую теорему.

Теорема. Если ряд Фурье непрерывной функции

равномерно сходится в промежутке то его сумма равна .

Доказываем от обратного. Пусть сумма ряда (17), и положим, что не равно тождественно в функции При этом разность не равная тождественна нулю, ортогональна ко всем функциям , а тем самым ортогональна ядру, что противоречит доказанной полноте ядра. будем дальше пользоваться доказанной теоремой.

Можно показать, что не только ядро полное, но и что собственные функции образуют замкнутую систему.

Отсюда непосредственно будет следовать и доказанная выше теорема.

Ниже, при рассмотрении многомерного случая, мы дадим доказательство того, что для любой непрерывной функции имеет место уравнение замкнутости. Это доказательство будет годиться и для одномерного случая.

Рассмотрим теперь тот случай, когда отлично от единицы, и будем считать эту функцию положительной. Пользуясь результатами из мы видим, что и в этом случае предельная задача для уравнения (1) приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром. В частности, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая в промежутке непрерывные производные до второго порядка, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи

коэффициенты которого определяются по формулам

Для доказательства этого утверждения мы заметим, что, согласно сказанному в [75], имеем

Но мы можем, очевидно, написать где, в силу функция непрерывна в промежутке Таким образом, мы имеем для функции представление через ядро симметричного интегрального уравнения

и рассуждения из [IV,; 44] сразу дают нам формулированную выше теорему разложения. Так же, как и выше, может быть доказана замкнутость ядра и, следовательно, существование бесчисленного множества собственных значений. Повторяя рассуждения из [74] для того случая, когда имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную и вспоминая, что теорема II из справедлива и в

случае представления функции через ядро при помощи кусочнонепрерывной функции к мы можем убедиться в том, что формулированная выше теорема разложения справедлива и для того случая, когда функция удовлетворяющая предельным условиям, имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную. В дальнейшем мы укажем на те случаи, когда при формулировке теорем разложения можно допустить и кусочную непрерывность первой производной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление