Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Характеристические многообразия.

Всякое решение системы (68) представляет собой пять функций вспомогательного параметра:

Мы выделим только те решения системы, которые при подстановке в интеграл (69) дают постоянной С значение, равное нулю. Назовем такие решения системы (68) характеристическими полосами уравнения (59), т. е. характеристической полосой уравнения (59) называется система функций (70), удовлетворяющих системе (68) и соотношению

Первые три из функций (70) определяют некоторую пространственную кривую, а последние две из этих функций определяют вдоль этой кривой некоторую касательную плоскость. Всякая пространственная кривая, входящая в состав характеристической полосы, называется обычно характеристической кривой уравнения (59). В предыдущем параграфе мы показали, что всякая интегральная поверхность может быть покрыта характеристическими полосами и, следовательно, соответствующими этим полосам характеристическими кривыми. Если мы возьмем на некоторой интегральной поверхности точку и соответствующие этой точке значения то по теореме существования и единственности система (68) определит единственную характеристическую полосу по начальным значениям и эта полоса должна целиком принадлежать упомянутой интегральной поверхности, т. е. если характеристическая полоса имеет некоторый элемент, общий с интегральной поверхностью, то она целиком лежит на этой интегральной поверхности. Из этого утверждения непосредственно вытекает, что если две интегральные поверхности касаются в некоторой точке, т. е. имеют в этой точке общие и q, то соответствующая этим начальным значениям характеристическая полоса должна принадлежать обеим интегральным поверхностям. Иначе говоря, если две интегральные поверхности касаются в некоторой точке, то они касаются вдоль характеристической полосы, имеющей начальным элементом точку касания поверхностей. Во всех этих рассуждениях мы считаем, конечно, что интегральные поверхности и функция F удовлетворяют условиям, указанным в предыдущем параграфе, и все относится к окрестности некоторой точки

Заметим еще, что для того чтобы решение системы (68) удовлетворяло соотношению (71), т. е. было характеристической полосой, достаточно, в силу (69), проверить, что этому соотношению удовлетворяют начальные данные упомянутого решения, т. е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление