Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

89. Теорема Куранта.

Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что наименьшее значение интеграла (102) при условиях (105) осуществляется собственной функцией и равно При таком определении нам необходимо знать все предыдущие собственные функции. Это обстоятельство затрудняет применение высказанного экстремального принципа. Мы докажем теперь теорему, которая позволяет определить без использования предыдущих собственных функций. Пусть - какие угодно заданные функции, непрерывные в промежутке . Поставим задачу о нахождении наименьшего значения интеграла

при дополнительных условиях:

в классе функций удовлетворяющих предельным условиям и имеющих непрерывные производные до второго порядка. Мы не знаем заранее, будет ли интеграл (108) при поставленных условиях достигать наименьшего значения, но мы можем во всяком случае говорить о точной нижней границе значений этого интеграла. Эта точная нижняя граница будет, конечно, зависеть от выбора функций . Мы обозначим ее через . Докажем сейчас следующую теорему Куранта: при любом выборе непрерывных функций число не превосходит собственного значения Если при любом выборе функций мы сможем построить такую функцию удовлетворяющую условиям (109) и всем остальным требованиям, что соответствующее ей значение интеграла (108) не больше число и подавно будет не больше и теорема будет доказана. Будем искать функцию в виде

где - собственные функции предельной задачи и постоянные, к определению которых мы сейчас и переходим. Первое из условий (109), в силу ортонормированности функций с весом приводит нас к равенству

Оставшиеся условий дадут систему однородных уравнений с неизвестными . Такая система, как известно имеет решения, отличные от нулевого. Всякое такое решение можно умножить на произвольный постоянный множитель, который можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство (111). Таким образом, при помощи формулы (110) мы построили функцию, имеющую непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющую предельным условиям и всем дополнительным условиям (109). Нам остается только подставить выражение (ПО) в интеграл (108) и убедиться, что величина этого интеграла окажется . После упомянутой подстановки под знаком интеграла мы будем иметь члены, содержащие квадраты и квадраты а также члены с приведениями и совершенно так

же, как и в [84], может быть и при , отличном от единицц доказана формула

Принимая еще во внимание формулу (22), убедимся в том, что подстановка выражения (110) в интеграл (108) приведет к вы ражению

Принимая во внимание, что и пользуясь форму рой (111), мы получим

что и дает окончательно теорему Куранта.

Следствие. Если мы примем как мы видели выше, наименьшее значение интеграла (108) при условиях (109) будет равно в точности и будет достигаться при . Таким образом, мы можем сказать, что есть наибольшее значение всевозможных нижних границ значений интеграла (108) при дополнительных условиях (109) в классе функций удовлетворяющих предельным условиям и имеющих непрерывные производные до второго порядка, причем это наибольшее значение точных нижних границ достигается при . Это максимально-минимальное свойство собственных значений остается справедливым для широкого класса уравнений с частными производными и играет основную роль при исследовании собственных значений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление