Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

92. Метод Ритца.

Уравнение

есть уравнение Эйлера для интеграла

при дополнительном условии

и, как мы видели, разыскание последовательных собственных значений и собственных функций сводится к экстремальным задачам для интеграла (135).

Это приводит к практически удобному способу приближенного определения собственных значений и собственных функций. Мы уже описывали этот способ (метод Ритца) в применении к отысканию абсолютного экстремума интеграла.

Берем последовательность линейно независимых функций , удовлетворяющих предельным условиям, составляем линейную комбинацию

и подставляем ее в интеграл

В результате получим квадратичную форму величин Приравнивая ее частные производные по нулю, придем к системе однородных уравнений с неизвестными Полагая определитель этой системы равным нулю, получим уравнение степени относительно . Корни этого уравнения могут быть приняты за приближенные значения первых собственных значений задачи. Для каждого из них может быть найдена из упомянутой однородной системы система чисел и по ней, согласно (136) построена соответствующая функция у, которая приближенно может быть принята за соответствующую собственную функцию. Сходимость этого процесса существенно зависит от выбора координатных функций По этому поводу мы приведем лишь некоторые результаты из работ академика Н. М. Крылова (Mem. Sci. Math., 1931, 49).

Положим, что уравнение имеет вид

Предельные условия берем в простейшей форме: Если положить то разность между истинным значением приближением к этому числу может быть оценена следующим образом:

или

где

В практических вычислениях часто пользуются не тригонометрическими функциями, а многочленами Положим, что мы по-прежнему имеем уравнение (137) с предельными условиями и примем (множитель обеспечивает удовлетворение предельных условий). При таком выборе функций имеют место следующие оценки:

Эта оценка справедлива, если предположить только непрерывность функции . Если эта функция имеет еще непрерывную производную, то можно полу чить более точную оценку, а именно:

где

Более точная оценка получается в предположении существования второй непрерывной производной у функции .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление