Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

96. Свойства потенциала простого слоя.

Потенциал простого слоя

является несобственным интегралом, если М лежит на S. Пусть М совпадает с точкой лежащей на S. Покажем, что несобственный интеграл (44) имеет при этом смысл. Как и в [95], достаточно рассмотреть его на участке сто поверхности S, содержащем внутри себя. Для пользуемся уравнением (4) в местных координатах. Мы имеем

В силу (15), (22) и получаем следующую оценку подынтегральной функции:

откуда непосредственно следует сходимость интеграла (44), когда М лежи на S. Таким образом, формула (44) определяет при любом положении точки М. Функция нелрерывна в точках М, находящихся вне S. Покажем, что непрерывна и в любой точке , лежащей на S. Пусть — заданное положительное число и часть S, определяемая неравенством (17). Покажем, что можно выбрать настолько малым, чтобы при любом положении М, в некоторой окрестности выполнялось неравенство

Мы имеем

где круг с центром и радиусом и -длина проекции отрезка MN на касательную плоскость. Положим, что М находится внутри шара с центром и радиусом . При этом принадлежит кругу и если мы на плоскости возьмем круг а с центром и радиусом то он будет содержать весь круг так что, в силу (46),

Остается фиксировать так, чтобы имело место неравенство и мы получаем оценку (45) при любом положении

М в шаре с центром и радиусом . Далее представляем функцию (44) в виде

где

причем непрерывна в точке и доказательство непрерывности в точке проводится совершенно так же, как и в [95] для функции (29). Мы имеем, таким образом, следующий результат: потенциал простого слоя (44) определен во всем пространстве и является непрерывной во всем пространстве функцией. Совершенно так же, как и в [95], можно показать, что при беспредельном удалении точки М.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление