Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные пространства и общая теория операторов. Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего Курса высшей математики, вышедшего в 1947 году.

Содержанием теории функций вещественного переменного в настоящей книге является теория классического интеграла, Стилтьеса, интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств.

В первой главе изложена теория классического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промежутки любого типа. В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши—Стилтьеса. Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости.

Далее в первой главе изучается пространство С непрерывных функций и устанавливается общая форма линейных функционалов в этом пространстве.

Во второй главе излагаются основы метрической теории функций вещественного переменного и интеграла Лебега — Стилтьеса. Вся теория излагается для случая плоскости и выясняется возможность очевидного обобщения ее на случай -мерного эвклидова пространства. Теория меры строится на основе любой неотрицательной, аддитивной, нормальной, функции, определенной на полуоткрытых двумерных промежутках. Интеграл Лебега — Стилтьеса от ограниченной функции определяется на основе совпадения верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного измеримого множества на измеримые множества. В конце второй главы подробно излагается процесс усреднения функций

и свойства средних функций при некоторых условиях на усредняющее ядро. Процесс усреднения широко используется в дальнейшем.

В третьей главе излагается теория вполне аддитивных функций множеств. После доказательства первоначальных теорем этой теории приводится без доказательства теорема о разбиении вполне аддитивной функции множеств на сингулярное и абсолютно непрерывное слагаемое и выясняются основные факты, связанные с этим разбиением. Подробно рассматривается случай одного независимого переменного. Далее в общем случае исследуется абсолютно непрерывная функция множеств и устанавливается формула замены переменных в многомерном интеграле Лебега — Стилтьеса.

В конце третьей главы приводится доказательство упомянутой выше теоремы о разбиении вполне аддитивной функции множеств на два слагаемые. Далее вводится в многомерном случае понятие интеграла Хеллингера и исследуются его свойства. В частности, указывается связь интеграла Хиллингера с интегралом Лебега — Стилтьеса. Подробно разбирается случай одномерного интеграла Хеллингера. Все доказательства конца третьей главы основаны на предварительном подробном изучении свойств вполне аддитивных функций множеств [78, 79].

Четвертая глава содержит изложение основ общей теории метрических и нормированных пространств. В конце ее приведено подробное изложение обобщенных производных, теорем вложения для различных функциональных пространств и теории функционалов в пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Все эти вопросы связаны с известными исследованиями С. Л. Соболева. Они изложены и в его. монографии „Некоторые применения функционального анализа в математической физике" (1950 г.).

Обобщенные производные определяются двояко — при помощи формулы интегрирования по частям и путем замыкания функций с непрерывными производными, при чем доказывается равносильность этих определений. Особо рассматривается случай областей звездного типа. Далее вводятся полные нормированные функциональные пространства UTD) и первое из которых состоит из функций определенных в области D и имеющих все обобщенные производные порядка причем и упомянутые производные принадлежат а при определении второго пространства берутся функции имеющие все обобщенные производные до порядка l

включительно. В дальнейшем доказывается, что для широкого класса областей состоит из одного и того же множества функций и что введенные в них нормы эквивалентны. Далее для пространства сравнительно просто доказываются теоремы, являющиеся частным случаем теорем вложения для

Далее, сначала эти теоремы формулируются, а затем в мелком шрифте приводится полное их доказательство на основе интегрального представления С. Л. Соболева. Весь этот материал тесно связан с его упомянутой выше монографией.

В последней пятой главе излагается общая теория пространства Гильберта, причем сначала все изложение проводится для случая ограниченных операторов. Доказываются теоремы Фредгольма для линейных уравнений с вполне непрерывными операторами. Для нормированных пространств они приводились без доказательства.

Для самосопряженных операторов на непрерывном спектре даются соответствующие интегральные представления через дифференциальные решения при помощи интегралов Хеллингера. Приводятся примеры применения общей теории ограниченных операторов в

Последний параграф пятой главы посвящен теории неограниченных операторов в Гильбертовом пространстве. После доказательства общих теорем теории приводится большое число примеров дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными. После общей теории расширения замкнутых симметричных операторов рассматривается специально случай полуограниченных операторов и, в частности, их расширение по Фридрихсу.

Предполагается выпуск шестого тома с изложением некоторых вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными.

При составлении настоящей книги я пользовался, кроме специальных статей, многими книгами. Приведу основные из них: В. И. Гливенко „Интеграл Стилтьеса"; И. П. Натансон „Основы теории функций вещественного переменного"; Сакс „Теория интеграла"; Vallee-Pous-sin „Integrates de Lebesgue. Fonctions d’ensembles. Classes de Baire"; Stone „Linear Transformation in Hilbert Space and their applications to Analysis"; H. И. Ахиезер и И. М. Глазман „Теория линейных операторов"; А. И. Плеснер „Спектральная теория линейных операторов, {Успехи математических наук, т. IX, 1941); Н. И. Ахиезер „Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов" (там же); С. Л. Соболев Некоторые

применения функционального анализа в математической физике.

Приношу мою благодарность С. М. Лозинскому, прочитавшему первоначальную рукопись книги и сделавшему ряд ценных указаний.

Изложение многих вопросов второй части этой книги принадлежит профессору О. А. Ладыженской, она является моим соавтором в этой части книги. С ней я подробно обсуждал план построения этой книги.

Большую помощь при составлении второй части книги оказал М. С. Бирман. Ему принадлежит изложение параграфов, посвященных теоремам вложения [114—118] и теории малых возмущений спектра [198]. Ценные советы были им даны по вопросу спектров симметричных операторов и их расширений, а также при изложении главы IV.

Приношу мою глубокую благодарность О. А. Ладыженской и М. С. Бирману. Без их помощи я не смог бы проделать всей работы.

Первые три главы книги были прочтены Г. П. Акиловым, от которого я получил ряд ценных советов, касающихся изложения отдельных вопросов. Приношу ему мою большую благодарность.

20 июля 1959 г. В. Смирнов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление