Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

106. Вполне непрерывные операторы.

Линейный оператор А из называется вполне непрерывным, если всякое ограниченное в X множество он преобразует в компактное в . Нетрудно видеть, что дистрибутивный оператор А, определенный во всем X и преобразующий всякое ограниченное множество в компактное, есть ограниченный оператор, т. е. линейный оператор. Действительно, по условию А преобразует сферу в компактнее множество

Но всякое компактное множество ограничено, т. е. существует такое положительное число С, что при откуда и следует, что А — ограниченный оператор. Таким образом определение вполне непрерывного оператора можно сформулировать и следующим образом: дистрибутивный оператор А, определенный во всем X, называется вполне непрерывным, если он преобразует всякое ограниченное множество в компактное. Из указанного выше следует, что определенный таким образом вполне непрерывный оператор будет и линейным оператором.

Теорема 1. Если А вполне непрерывный оператор и то . Мы знаем, что если А — линейный оператор. По условию теоремы и потому последовательность чисел ограничена. Из последовательности в силу полной непрерывности А, можно выбрать подпоследовательность, которая сильно сходится к некоторому элементу . С другой стороны, из сказанного выше следует, что эта подпоследовательность слабо сходится к и потому Следовательно, всякая сильно сходящаяся подпоследовательность из последовательности сильно сходится к Нам надо доказать, что вся эта последовательность сильно сходится к .

Доказываем от обратного. Предполагаем, что существует такое число О и такая бесконечная подпоследовательность , что

Из последовательности можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность, и эта подпоследовательность, как указано выше, должна сильно стремиться к что противоречит неравенству Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть последовательность вполне непрерывных операторов, которые по норме стремятся к линейному оператору . При этом и оператор А вполне непрерывен. Надо доказать, что А преобразует всякую ограниченную последовательность элементов в компактную. Последовательность при любом фиксированном компактна. С другой стороны, из сходимости по норме следует равномерная сходимость на всяком ограниченном множестве. Таким образом, для любого заданного существует такое , что Атхп имеет компактную сеть откуда и следует компактность

Можно показать, что если А — вполне непрерывный оператор, то и А, определенный в X и имеющий область значений в X, также вполне непрерывен.

Мы докажем это в дальнейшем для операторов в гильбертовом пространстве. Для этого пространства мы изложим теорию вполне непрерывных операторов более подробно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление