Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

110. Обобщенные производные (продолжение).

Установим теперь связь между существованием обобщенных производных и абсолютной непрерывностью функций. Мы рассмотрим случай одного независимого переменного и основной областью D будем считать промежуток Пусть функция абсолютно непрерывна на промежутке [0,1]. Как известно имеет на промежутке [0, 1] производную которая является суммируемой на [0, 1] функцией. Формула интегрирования по частям [74] дает при любой непрерывно дифференцируемой финитной функции соотношение

которое показывает, что является обобщенной производной функции .

Пусть теперь и имеет обобщенную производную в D, принадлежащую . Покажем, что при этом эквивалентна некоторой абсолютно непрерывной в [0, 1] функции. Обозначим

и заметим, что абсолютно непрерывна и ее производная эквивалентна [74]. Разность имеет, очевидно, производную, эквивалентную нулю. Фиксируем и рассмотрим промежуток . При достаточно малом h производная от средней функции равна нулю в и, следовательно, есть постоянная в . Так как пределом постоянных может быть лить постоянная, и , то эквивалентна постоянной в промежутке . Отсюда непосредственно вытекает, что всюду в

с точностью до эквивалентности. Таким образом, мы установили, что существование обобщенной производной равносильно абсолютной непрерывности . Для случая многих независимых переменных аналогично доказывается, что если имеет обобщенную производную например, в кубе в этом кубе, для почти всех значений из куба абсолютно непрерывна при и имеет место равенство

Это равенство, так же как и равенство (133), нуждается в пояснениях. Именно функция и ее обобщенная производная определены с точностью до множества меры нуль. Поэтому равенства (133) и (134) надо понимать в том смысле, что существуют функции из класса эквивалентных функций, для которых они справедливы.

Приведем теперь пример функции имеющей обобщенную смешанную производную и не имеющей обобщенных первых производных. Этим свойством обладает функция , где есть непрерывная функция из [76]. Функция не имеет обобщенных первых производных, ибо не есть абсолютно непрерывная функция.

Обобщенная же производная существует и равна тождественно нулю. Действительно, для любой гладкой финитной функции мы имеем

и аналогично для , т. е.

откуда и следует (определение 1), что обобщенная производная

Полезно заметить, что если функция непрерывна в D и если область D может быть разбита при помощи конечного числа гладких поверхностей на конечное число областей в каждой из которых прерывно дифференцируема по некоторому вплоть до границы, то имеет в D обобщенную производную, равную в каждой из производная может иметь разрывы первого рода на упомянутых выше поверхностях. Сформулированное утверждение непосредственно получается из формулы интегрирования по частям:

где — граница и — направление нормали к внешней но отношению к Нужно лишь заметить что интегралы по поверхностям при суммировании по l сокращаются.

Если имеет различные предельные значения на каком-нибудь (-мерном куске V поверхности, находящейся в и направление не лежит в касательной плоскости к этой поверхности, то в не существует обобщенной производной . Это следует из установленной выше связи между абсолютной непрерывностью и существованием обобщенной производной.

Замечание. Можно вводить понятие не отдельной обобщенной производной суммируемой функции , а обобщенного линейного дифференциального оператора любого порядка, например:

где коэффициенты достаточно гладкие функции от .

Такой обобщенный оператор определяется равенством, аналогичным (124):

где - сопряженный дифференциальный оператор и любая гладкая финитная в D функция Существование отдельных производных, входящих в оператор при этом не предполагается.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление