Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

112. Пространства ...

Пусть, как и выше, D — ограниченная область -мерного пространства. Рассмотрим множество всех функций имеющих все обобщенные производные порядка причем и все принадлежат . Этот класс функций будем обозначать через мы превратим его в нормированное пространство, если введем норму по формуле:

Здесь и в дальнейшем означает суммирование по всевозможным наборам натуральных чисел в сумме дающих . Нетрудно проверить наличие основных свойств нормы, указанных в . Покажем, что пространство — полное. Пусть сходящаяся в себе последовательность в т. е.

при k и Отсюда следует, что последовательности сходятся в себе в . В силу полноты и теоремы 2 из [109], получаем, что сходятся в к некоторой функции причем эта функция имеет всевозможные обобщенные производные порядка l из Сказанное равносильно сходимости Пространство является, таким образом, пространством типа В (полным линейным нормированным пространством). Остановимся теперь на доказательстве сепарабельности пространства . С этой целью представим область D в виде счетного множества непересекающихся полуоткрытых промежутков [32]. Соответствующие им открытые промежутки пронумеруем, обозначим и введем множество функций принадлежащих в каждом промежутке и таких, что сходится ряд

Задание нормы по формуле (139) превращает в линейное нормированное пространство. Легко видеть, что функции из входят в Таким образом, есть подпространство пространства и нам достаточно установить сепарабельность последнего [94].

Множество функций из , отличных от нуля лишь в конечном числе промежутков, плотно в . Действительно, пусть и произвольное число. Положим при в остальной части D. Очевидно, и при достаточно большом

в силу сходимости ряда (139). Функции в каждом из промежутков можно приблизить в метрике раз непрерывно дифференцируемыми функциями [111] последние в свою очередь можно вместе с производными равномерно приблизить в многочленами с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает, что в плотно множество функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в конечном числе промежутков каждом из этих промежутков совпадают с многочленом с рациональными коэффициентами. Легко видеть, что множество таких функций счетно и, следовательно, сепарабельно. Этим доказана и сепарабельность пространства .

Остановимся теперь на одном специальном вопросе. Пусть в некотором линейном нормированном пространстве X наряду с основной нормой введена еще норма причем для всех

где постоянные. Нормы, удовлетворяющие условию (140), называются эквивалентными. Очевидно, что последовательность сходящаяся в одной норме, сходится в другой. При решении вопросов полноты, сепарабельности, компактности и т. п. безразлично, какую из эквивалентных норм рассматривать. Точно так же дистрибутивный оператор, ограниченный в одной норме, окажется ограниченным и относительно другой (эквивалентной) нормы. При этом норма ограниченного оператора, вообще говоря, меняется при переходе к эквивалентной нормировке пространства, но остается конечной.

Рассмотрим подробнее вопрос об эквивалентных нормировках в -мерном вещественном эвклидовом пространстве Мы ввели в норму формулой

Пусть теперь функция обладает свойствами нормы [95] и, кроме того, непрерывна на поверхности единичной сферы Покажем, что представляет собой норму, эквивалентную норме (141). Непрерывная функция достигает на поверхности единичной сферы своего наибольшего и наименьшего значения. Обозначим при . В силу положительности и непрерывности имеем . В силу свойств всюду в

т. е. нормы (141) и эквивалентны,

В качестве можно взять, например, выражения:

Основываясь на этих соображениях, легко проверить, что нормы, заданные в пространстве (D) формулами:

эквивалентны основной норме (138). Этим замечанием мы будем пользоваться в дальнейшем.

Введем теперь еще одно функциональное пространство. На множестве функций, имеющих всевозможные обобщенные производные в D до порядка l включительно и принадлежащих вместе с этими производными определим норму формулой

Полученное линейное нормированное пространство будем обозначать Так же, как это было сделано для пространства можно доказать, что пространство полное и сепарабельное. Сделанное выше замечание о эквивалентных нормах в в равной мере относится и к пространству Ниже [116] мы покажем, что для довольно широкого класса областей пространства состоят из одного и того же множества функций, и нормы (138) и (145) эквивалентны. При пространства совпадают по определению, причем, очевидно, есть

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление