Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

128. Спектр оператора.

Основной задачей в приложениях теории операторов к математическому анализу является решение однородного уравнения

и неоднородного уравнения

где искомый элемент, у — заданный элемент, — численный параметр. Число X называется собственным значением оператора если однородное уравнение (60) имеет решения, отличные от нулевого элемента; эти решения называются собственными

элементами оператора А, соответствующими указанному собственному знамению.

Если X есть собственное значение А, и мы присоединим к соответствующим собственным элементам нулевой элемент, который удовлетворяет однородному уравнению (60) при любом X, то, в силу линейности и однородности уравнения (61) и непрерывности оператора А, можем утверждать, что упомянутое множество собственных элементов с присоединенным к нему нулевым элементом образует подпространство. Мы будем называть его подпространством собственных элементов, соответствующих указанному собственному значению.

Если это подпространство собственных элементов имеет конечную размерность , т. е. если максимальное число линейно независимых элементов, принадлежащих указанному подпространству, равно конечному числу , то говорят, что соответствующее собственное значение X имеет ранг или кратность . Если упомянутое подпространство собственных элементов бесконечномерно, то говорят, что ранг соответствующего собственного значения равен бесконечности. В случае самосопряженного оператора А имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны и собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Пусть — собственное значение самосопряженного оператора соответствующий собственный элемент (отличный от нулевого). Умножая обе части справа на получим

В силу самосопряженности А, левая часть написанного равенства вещественна, а следовательно, и число X вещественно. Пусть — два различных собственных значения, — соответствующие собственные элементы:

Умножаем скалярно первое из равенств справа на второе — слева на и почленно вычитаем полученные равенства:

Левая часть равна нулю, в силу самосопряженности А, и . Таким образом, и теорема доказана.

Решение неоднородного уравнения сводится к нахождению оператора обратного оператору Если X есть собственное значение оператора А, то однородное уравнение имеет решения, отличные от нулевого элемента, и, в силу сказанного в [127], обратный оператор наверное, не существует. Если не есть собственное значение оператора А, то обратный

оператор существует, но он может быть ограниченным обратным оператором или просто обратным оператором. Отметим, что параметр X при этом может быть любым комплексным числом. Введем следующее определение.

Определение. Значение X или точка X (плоскости комплексного переменного) называется регулярной точкой оператора А, если оператор А — ХЕ имеет ограниченный обратный оператор

и этот линейный оператор определенный для всех регулярных точек X, называется резольвентой оператора А. Спектром оператора А называется множество точек X, которые не являются регулярными точками оператора А.

В силу сказанного выше, всякое собственное значение оператора А принадлежит его спектру. В дальнейшем мы увидим, что спектру могут принадлежать и такие значения X, которые не являются собственными значениями.

Если X есть точка регулярности, то при любом заданном элементе у неоднородное уравнение (61 имеет единственное решение, определяемое формулой

Если X не есть точка регулярности и не совпадает с собственным значением оператора А, то уравнение ) имеет также единственное решение, если у принадлежит линеалу . Этот линеал состоит из элементов у, определяемых формулой

когда пробегает все Н.

Таким образом, на линеале если X — не собственное значение, определен обратный оператор . Если при этом X не есть точка регулярности А, то и в этом случае оператор называют резольвентой А.

Теорема 2. Элементы ортогональны ко всем решениям уравнения

Утверждение теоремы непосредственно вытекает из очевидного равенства

Отметим, что если А — самосопряженный оператор и X — его собственное значение (оно вещественно), то из теоремы 2 следует, что элементы ортогональны собственным элементам А, соответствующим собственному значению X. В следующем параграфе мы докажем некоторые теоремы, которые характеризуют спектр самосопряженного оператора.

Сделаем еще одно замечание по поводу собственных элементов самосопряженного оператора А. Как мы видели, собственные

значения, соответствующие некоторому собственному значению образуют подпространство. В этом подпространстве мы можем ввести полную ортонормированную систему. Если собственное значение имеет конечный ранг , то эта ортонормированная система будет содержать - элементов. Мы знаем, что собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Таким образом, вводя, как было указано выше, ортонормированную систему в каждом из подпространств, соответствующих фиксированному собственному значению, мы получим ортогональную систему К в Н. Будем говорить, что самосопряженный оператор порождает ортонормированную систему К. Эта система определяется с точностью до выбора полной ортонормированной системы в каждом из упомянутых подпространств. Может случиться, что А вовсе не имеет собственных значений. В этом случае системы К не будет. Мы знаем, что если ортонормированная система может содержать лишь конечное или счетное множество элементов. Отсюда непосредственно следует, что если К имеет бесчисленное множество различных собственных значений, то это множество счетно.

Ортонормированная система К может быть как полной, так и неполной в . Ее свойство быть полной или неполной не зависит, как нетрудно видеть, от выбора полной нормированной системы в подпространствах собственных элементов, соответствующих фиксированному собственному значению. Если К — полная система, то говорят, что оператор А имеет чисто точечный спектр.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление