Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

131. Последовательности операторов.

Все, что мы говорили о последовательностях линейных операторов в пространствах типа В [104], имеет место и для . Напомним основные факты и сделаем некоторые добавления. Сходимость по норме последовательности линейных операторов к линейному оператору А определяется условием при . Для этого необходимо и достаточно, чтобы при .

Сильная сходимость (или просто сходимость) определяется тем, что при любом При этом нормы ограничены. Необходимое и достаточное условие сильной сходимости при и любом . Из сходимости по норме следует сильная сходимость. Если смысле сильной сходимости или сходимости по норме) и числа то .

Покажем, что если самосопряженные операторы и то и А — самосопряженный оператор. Действительно, — вещественно при любом и любом . Отсюда следует, что и вещественно при любом , и, следовательно, А — самосопряженный оператор.

Имея понятие предела, мы можем рассматривать бесконечные ряды, составленные из линейных операторов в

и говорить об их сходимости в том или ином смысле. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример. Пусть А — линейный оператор и . Составим ряд:

где а — комплексное число. Обозначая через оператор, равный сумме первых - членов этого ряда, получим

откуда, считая

и, следовательно, при и любом т. е. ряд (68) сходится по норме при Поскольку оценка для

не содержит а, говорят, что ряд (68) сходится равномерно по а при . Принимая во внимание, что мы можем утверждать, что ряд (68) сходится по норме равномерно относительно а, если , где выбрано настолько малым, что

Умножая ряд (68) на и принимая во внимание сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов, получим , т. е. сумма ряда (68) при есть ограниченный обратный оператор для

Совершенно так же, как и выше, можно доказать следующее утверждение: если нормы операторов не превышают положительных чисел которые образуют сходящийся ряд, то ряд

сходится по норме, и норма оператора А не больше суммы ряда, составленного из чисел Последнее утверждение следует из того, что если бы норма А оказалась больше этой суммы, то при достаточно большом и норма оператора

оказалась бы больше этой суммы, что противоречит очевидному неравенству

Утверждение, аналогичное вышеуказанному, имеет, очевидно, место и для нормированных пространств.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление