Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

135. Линейные уравнения со вполне непрерывными операторами.

Рассмотрим в пространстве И вопрос о разрешимости уравнений вида

где А — вполне непрерывный оператор, А — сопряженный с ним, у — заданный элемент Н и искомый. Как показал Ф. Рисс, основные теоремы теории интегральных уравнений (теоремы Фредгольма) остаются справедливыми для уравнений (87) и (88) не только в пространстве но, как мы указали в [107], и в пространствах типа В. Исследуем эти уравнения в .

Фиксируем число , входящее в построение операторов предыдущего параграфа так, чтобы иметь . Тем самым и

и уравнения (87) и (88) можно переписать в виде

В силу (89) операторы и имеют ограниченные обратные. [131]

Введем следующие обозначения:

Уравнение (90) переписываем, вводя вместо и к обеим частям (91) применяем оператор Таким образом, получаем уравнения

где — заданный элемент и

причем В — оператор, сопряженный с В. Уравнение (94) равносильно (91), и решение уравнения (90) сводится к решению уравнения (93) и формуле . Таким образом, решение уравнений (90) и (91) сводится к решению уравнений (93) и (94). Напишем еще соответствующие однородные уравнения:

Оператор конечномерный, и выражается формулой (84), в которой А надо заменить на Матрица, соответствующая оператору В в будет иметь элементы:

Но при и, следовательно, при . Пусть и составляющие элементов соответствующих элементам х и у из Н. Уравнение (93) в принимает вид

где — искомые и заданные числа. Таким образом, все при известны, и решение уравнения (93) сводится к решению системы уравнений с неизвестными

Оператору В соответствует матрица так что уравнение (94) в имеет вид

где и составляющие элементов соответствующих элементам х и у из .

Каждому решению первых уравнений написанной системы

соответствует одно определенное решение всей системы (100), каковы бы ни были остальные в котором остальные неизвестные определяются по формулам

Отметим, что получаемые из (98) и (99) и из (101) и (102), таковы, что ряды с общим членом сходятся. Для это непосредственно следует из (98), а для — из (102), если принять во внимание сходимость рядов по k с общим членом Последнее следует из того, что, в силу (96),

В однородном случае надо положить Однородная система (99) переписывается в виде

и при система (101) — в виде

и

Отметим, что линейно независимые решения конечной однородной системы (104) порождают, в силу (105), линейно независимые решения всей однородной системы бесконечного числа уравнений, соответствующей однородному уравнению (94) в Н. Линейно зависимые решения системы (104) порождают линейно зависимые решения всей системы. Принимая во внимание основные результаты, касающиеся решения систем уравнений, и тот факт, что таблицы коэффициентов

систем (103) и (104) имеют одинаковый ранг, мы получаем следующую теорему:

Теорема Неоднородные уравнения (87) и (88) разрешимы при любых правых частях у тогда и только тогда, когда соответствующие однородные уравнения имеют только нулевое решение. В этом случае решение уравнений (87) и (88) при любом у единственно. Однородные уравнения имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (87) в том случае, когда однородное уравнение имеет решения, отличные от нулевого, и докажем для этого случая теорему.

Теорема 2. Для того чтобы в рассматриваемом случае неоднородное уравнение (87) имело решения, необходимо и достаточно следующее: свободный член у должен быть ортогонален ко всем решениям однородного уравнения

Необходимость. Проводим доказательство, не прибегая . Пусть уравнение (87) имеет решение и пусть — какое-либо решение уравнения (106), т. е. Надо доказать, что . Имеем

Достаточность. Дано, что у ортогонально ко всем решениям (106), и надо доказать, что уравнение (87) имеет решения. Переходя в мы имеем по условию

где — любое решение системы (104) и при определяются формулами (105). Подставляя эти выражения при переписываем (107) в виде

Принимая во внимание, что суммы, стоящие в круглых скобках, суть правые части уравнений (99), а любое решение системы (104), мы можем утверждать, что система (99) имеет решения , тем самым и уравнение (87) имеет решения, и теорема доказана.

Рассмотрим теперь уравнение

где вполне непрерывный оператор и комплексный параметр. Оператор также вполне непрерывен, и к уравнению (108) применимы доказанные выше теоремы. В частности, уравнение (108) разрешимо при любом у (и притом однозначно), если однородное уравнение

имеет только нулевое решение (при это очевидно). Если уравнение (109) имеет решения, отличные от нулевого, то соответствующее значение X есть собственное значение оператора А. Докажем теперь теорему.

Теорема 3. Может существовать лишь конечное число собственных значений, удовлетворяющих условию где — любое заданное положительное число. Иначе говоря, нам надо доказать, что может существовать лишь конечное число значений удовлетворяющих условию , при которых уравнение (109) имеет ненулевые значения. Доказательство этого утверждения непосредственно связано с той конструкцией, которую мы использовали при доказательстве теоремы 1.

Положим, как и там,

причем фиксируем настолько большим, чтобы иметь неравенство При этом оператор имеет ограниченный обратный при и он представим рядом

сходящимся по норме равномерно относительно при где — достаточно малое положительное число. Значения при которых уравнение имеет ненулевые решения, мы получим, если приравняем нулю определитель системы (103), т. е. определитель А с элементами где при при и

Принимая во внимание сходимость ряда (110), сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов и непрерывность скалярного произведения, можем утверждать, что регулярные функции в круге . Тем же свойством обладает, очевидно, и определитель А, а потому уравнение может иметь лишь конечное число корней, удовлетворяющих условию что и требовалось доказать.

Доказанную теорему иначе можно формулировать так: собственные значения X вполне непрерывного оператора могут иметь предельной точкой только точку .

Из сказанного выше следует, что ранг всякого собственного значения X, удовлетворяющего условию не превышает числа входящего в систему (103) при условии . Если несамосопряженный оператор, то он может и не иметь собственных значений [IV; 13].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление