Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

139. Операции над подпространствами.

Этот и следующий параграфы посвящены изложению операций над подпространствами и свойств операции проектирования. Это будет нам необходимо в дальнейшем при изложении теории самосопряженных операторов.

Пусть попарно ортогональные подпространства. Введем понятие об их сумме

Через L мы обозначаем множество элементов вида

где . Из ортогональности следует, что и имеет место равенство

Нетрудно показать, что L — подпространство. Оно называется ортогональной суммой подпространства Рассмотрим теперь бесконечную сумму попарно ортогональных подпространств:

Через L обозначаем множество элементов представимых в виде суммы сходящегося ряда

где . Написанное равенство равносильно следующему

и при его выполнении Если любой элемент

Равенство (150) равносильно при . Нетрудно видеть, что L — линеал. Покажем, что L — подпространство. Пусть при Надо доказать, что и Имеем очевидное неравенство

Но есть проекция в подпространство так и можем написать Пусть задано Фиксируем такое , что

Но при всех достаточно больших ибо

и из (152) следует и доказано, что - подпросгранство. Элемент при любом представим в виде

где . Но, поскольку входит в L, мы имеем и, переходя к сопряженным операторам откуда и формула (153) переписывается в виде

т. е.

причем сходимость ряда надо понимать в смысле сильной сходимости последовательности операторов.

Отметим, что если попарно ортогональные и нормированные элементы, то, считая, что каждый из них порождает одномерное подпространство элементов , где а — любое комплексное число, мы имеем ортогональную сумму этих подпространств, образованную элементами вида

где ряд, составляемый из чисел сходится, и проектор в подпространство L имеет вид

где

Говорят, что подпространство М есть часть подпространства если все элементы М входят в L. При этом разностью подпространств называют множество элементов L, ортогональных М [122]. Если обозначить то и подпространства М и взаимно дополнительны по отношению к L [122].

Произведением подпространств называется множество элементов, общих Нетрудно показать, что это множество есть подпространство. Это определение произведения применимо и к любому конечному или бесконечному числу подпространств.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление