Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

140. Операторы проектирования.

Мы видели, что оператор проектирования в подпространство L есть самосопряженный оператор с нормой единица (исключая случай, когда — оператор аннулирования [124]). Из его определения непосредственно следует

и потому

т. е. - положительный оператор. Докажем некоторые теоремы о проекторах.

Теорема 1. Если А есть самосопряженный оператор, удовлетворяющий соотношению

то А есть проектор в подпространство L, образованное элементами когда пробегает все .

Множество L элементов когда ; пробегает Н, в силу дистрибутивности оператора А, есть линеал. Докажем, что L есть подпространство. Пусть — последовательность элементов из L и Надо доказать, что Принимая во внимание, что можем утверждать, что существуют такие элементы что или, в силу откуда, переходя к пределу и пользуясь непрерывностью оператора А, получим и, следовательно, Для доказательства теоремы нам остается показать, что элемент ортогонален любому элементу из L, т. е. ортогонален элементу где — любой мент из Н. Мы имеем

В силу самосопряженности А мы можем перекинуть А с первого элемента на второй элемент . Таким образом, получим

и из (157) следует, что правая часть равна нулю, т. е. и теорема доказана.

Назовем два проектора взаимно ортогональными, если выполнено условие

причем символ 0, стоящий справа, обозначает оператор аннулирования. Переходя в формуле (158) к сопряженным операторам и принимая во внимание самосопряженность проектора, получим, наряду с (158), формулу

Теорема 2. Для того чтобы проекторы и были взаимно ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы подпространства L и М были взаимно ортогональны.

Доказываем необходимость. Если бы L и М не были взаимно оргогональными, то существовал бы элемент принадлежащий М и неортогональный L. Для такого элемента мы получили бы и,

следовательно, , что противоречит (158). Доказываем достаточность. Если , то ортогонально к L для любого элемента и, следовательно, , т. е. формула (158) справедлива.

Теорема 3. Для того чтобы сумма была проекторому необходимо и достаточно, чтобы подпространства L и М были взаимно ортогональны. Если это условие выполнено, то есть проектор в .

Доказываем необходимость. Пусть есть проектор. При этом мы должны иметь, в силу (156),

и, раскрывая скобки и принимая во внимание, что получим

Умножаем слева на

Умножая это равенство справа на получаем формулу , которая, в силу (162), приводит нас к формуле из которой, в силу теоремы 1, и следует, что L и М взаимно ортогональны. Доказываем достаточность. Если L и М взаимно ортогональны, то, в силу (158) и (159), выполняется равенство (161), а тем самым и равенство в силу теоремы есть проектор. Подпространство, соответствующее этому проектору, определяется формулой

где пробегает Н. Слагаемое и слагаемое образом, любой элемент у, определяемый формулой (163), принадлежит . Наоборот, если мы возьмем любой элемент принадлежащий причем , то, подставляя в формулу получим . Таким образом, формула (163) определяет действительно подпространство и теорема таким образом доказана.

Говорят, что оператор есть часть оператора если выполнено условие

Переходя в этой формуле к сопряженным операторам, получим следующую формулу:

Теорема 4. Для того чтобы было частью , необходимо и достаточно, чтобы подпространство М было частью

подпространства L. Это условие равносильно тому, что при всяком

или тому, что

Если выполнено условие (164) и мы возьмем элемент принадлежащий то и из (164) следует, что есть часть L. Наоборот, если М есть часть L, то при любом выборе элемент принадлежит М, а следовательно, и I, а потому , т. е. условие (164) выполнено. При этом, согласно формуле (165), мы можем написать для любого элемента откуда вытекает неравенство (93). Покажем теперь, наоборот, что из неравенства (93) следует, что М есть часть L. Если бы это было не так, то существовал бы элемент принадлежащий М и не принадлежащий L. Для этого элемента мы имели бы что противоречит (166). Наконец, неравенство (166), в силу (157), мы можем записать в виде или , откуда и следует, что (167) равносильно (166); теорема полностью доказана.

Теорема 5. Для того чтобы разность была проектором, необходимо и достаточно, чтобы М было частью L. Если это условие выполнено, то есть проектор в .

Если есть проектор, то мы должны иметь

или, раскрывая скобки, получим

Умножая сначала слева, а затем справа на , приходим к двум равенствам

из которых следует, что и, в силу имеем т. е. соблюдено условие (164), и М есть часть L. Наоборот, если М есть часть L, т. е. соблюдены условия (164) и (165), то из них следует формула (169), и тем самым формула (168), а потому, согласно теореме есть проектор. Соответствующее ему подпространство определяется формулой

причем пробегает все И. Элементы принадлежат L, ибо по условию М есть часть L. Таким образом, формула (170) дает элементы, принадлежащие L. Покажем, что элементы у, кроме того, ортогональны М. Пусть — любой элемент из М. Мы имеем и можем написать

Переводя справа налево и пользуясь условием (165), получим

т. е. действительно . Таким образом, формула (170) дает элементы у, принадлежащие . Если и есть любой элемент, принадлежащий то и, таким образом, окончательно можно утверждать, что формула (170) определяет подпространство и теорема доказана.

Теорема 6. Для того чтобы произведение было проектором, необходимо и достаточно, чтобы коммутировали, .

Если это условие выполнено, то есть проектор в подпространство

Необходимость условия (171) вытекает из того, что для самосопряженности необходимо и достаточно (171). Проверим теперь, что при наличии условия (171) оператор удовлетворяет условию (157):

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Если х - любой элемент из Н, то элемент

очевидно, принадлежит как L, так и т. е. принадлежит LM. Наоборот, если мы возьмем любой элемент принадлежащий LM, то формула (172) при даст нам Таким образом, формула (172) определяет подпространство LM, и теорема полностью доказана.

Теорема 7. Предел сходящейся последовательности проекторов есть проектор.

Мы имеем , причем суть проекторы и Р есть самосопряженный оператор [131]. Переходя в равенстве к пределу, получаем равенство из которого, в силу теоремы 1, следует, что Р есть проектор.

Теорема 8. Всякая монотонная последовательность проекторов имеет предел.

Рассмотрим сначала неубывающую последовательность проекторов:

Для доказательства существования предела у последовательности (173) нам надо показать, что имеет предел при любом выборе х, т. е. для любого заданного положительного s должно существовать такое N, что

В силу (173) и теоремы

причем для любого мы имеем . Таким образом, неубывающая последовательность неотрицательных чисел имеет предел, и для любого заданного положительного существует такое N, что

Согласно (157) мы можем записать это неравенство в виде

Так как есть часть то есть проектор, и последнее неравенство, в силу (157), приводит к неравенству (174); теорема доказана. Отметим, что, в силу теоремы 7, предельный оператор Р для последовательности (173). есть проектор и, переходя в неравенстве к пределу при мы получаем Совершенно аналогично доказывается, что и убывающая последовательность проекторов имеет предел, и этот предел есть также проектор.

Теорема 9. Если — счетное число попарно ортогональных подпространств, то сумма

есть проектор в подпространство

Это утверждение непосредственно следует из сказанного в [139].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление