Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

151. Дифференциальные решения.

Рассматриваем оператор с чисто непрерывным спектром. Элементы при любом выборе удовлетворяют некоторому уравнению, аналогичному уравнению в случае точечного спектра. Пусть любой промежуток.

Пользуясь свойством (180), можем написать следующее уравнение, аналогичное уравнению (213):

Введем элемент непрерывно зависящий от параметра X на промежутке в том смысле, что при для любого из Из предыдущего равенства мы видим, что удовлетворяет уравнению

При этом говорят, что есть дифференциальное решение уравнения . Векторы построенные в [149], являются, таким образом, дифференциальными решениями. При разных значениях k они находятся в ортогональных подпространствах и потому для любых интервалов мы имеем

Если А, и не имеют общих внутренних точек, то, в силу (180),

( — без общих внутренних точек). Если и имеют общую часть то, в силу (180),

Введем понятие полной системы дифференциальных решений. Какая-либо система дифференциальных решений, ортогональная в смысле (282), называется полной, если элемент ортогональный ко всем т. е. удовлетворяющий при любом и любом X условию

есть нулевой элемент. Нетрудно показать, что построенные выше решения обладают полнотой. Действительно, из (285) заключаем, что элемент ортогонален к тому подпространству которое является замкнутой линейной оболочкой и это имеет место при любом р. Но ортогональная сумма есть все Н, и, таким образом, элемент ортогональный ко всему Н, есть, действительно, нулевой элемент.

При построении решений уравнения (281) мы исходили от спектральной функции Будем теперь исходить из самого уравнения. Пусть каким-нибудь образом нам удалось построить решение

уравнения (281). В этом уравнении входит только под знаками разности и дифференциала, и, вычитая из какой-либо элемент, не зависящий от X, мы получаем также решение уравнения. В частности, решением будет разность и можем, таким образом, всегда считать, что . В дальнейшем покажем, что любое решение уравнения (281), непрерывно зависящее от X в промежутке и удовлетворяющее условию обязательно имеет вид Положим, что нам удалось каким-нибудь образом построить конечное или бесконечное число решений уравнения (281), попарно ортогональных в смысле (282). Каждое из них, согласно сказанному выше, имеет вид где — некоторый элемент Н. Замкнутая линейная оболочка каждого есть некоторое подпространство причем, в силу (282), эти подпространства попарно ортогональны. Полнота решений сводится к тому, что ортогональная сумма есть все Н. Если эта полнота имеется, то мы можем написать формулы из [149], заменяя в них на Таким образом, при построении этих формул мы можем исходить из какой угодно ортогональной полной системы непрерывных дифференциальных решений. Полнота построенной каким-либо образом системы попарно ортогональных решений может быть проверена формулой (271) для билинейного функционала или формулой (273), если известна спектральная функция

Отметим еще, что для можно построить уравнения, отличные от (281). Полагая, что промежуток А не содержит напишем, в силу (180), уравнение

и отсюда для получаем уравнение

или

Переходим теперь к доказательству утверждения, которое мы сделали выше.

Теорема. Всякое решение уравнения (281), непрерывное в промежутке и равное нулевому элементу при имеет вид .

При условии уравнение (281) дает

причем здесь и в дальнейшем является переменной интегрирования. Фиксируя каким-либо образом два числа , получим

Пользуясь самосопряженностью А и уравнением (281), можем написать

и, следовательно, приходим к равенству

Интеграл, стоящий справа, интегрируем по частям и к полученному интегралу применяем теорему о среднем

или

и эту формулу мы можем переписать в виде

Вводя непрерывные функции

перепишем это уравнение

причем мы считаем и, очевидно, . Последнее уравнение легко решить относительно . Для этого достаточно к левой части применить

интегрирование по частям и положить — новая искомая функция, равная нулю при

или, вспоминая обозначения (286),

Если , то и первое слагаемое справа стремится к нулю. То же можно утверждать и об интеграле, ибо где С — наибольшее значение в промежутке . Мы рассмотрели тот случай, когда от меньших значений. Совершенно так же мы могли бы рассмотреть и случай Из последней формулы таким образом следует

и, следовательно,

Применяя эту формулу при к решению уравнения (281), которое обращается в нуль при , получим и теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление