Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

166. Случай непрерывного спектра.

Как известно, можно произвести дальнейшее расчленение на инвариантные относительно А подпространства, в каждом из которых А имеет простой непрерывный спектр. Пусть такое подпространство. Введем в нем замкнутую ортогональную систему и положим, что дальнейшее относится к которое мы можем рассматривать как некоторое пространство Гильберта, в котором введены орты так что всякий элемент определяется своими составляющими Пусть такой элемент что замкнутая линейная оболочка есть все причем Обозначим через составляющие элемента Любому элементу из сопоставляется функция

Принимая во внимание формулу (259) из (147], можем записать билинейный функционал в виде

где

и, следовательно, элементы матрицы, определяющей преобразование А в при принятой системе ортов, будут

Далее, любому элементу у из соответствует функция у из по отношению на промежутке такая, что

и, наоборот, любой функции из соответствует определенный элемент у из При этом соответствии сохраняются нормы и скалярные произведения. Если обозначим через функцию соответствующую орту то получим

и образуют замкнутую ортогональную нормированную систему в . Оператору А в соответствует умножение на и для мы можем написать вместо (48) формулы

Положим, что вместо мы взяли другую полную ортогональную нормированную систему причем этим соответствует некоторая полная система ортов в Введем унитарное преобразование U в переводя орты в орты т. е. Этому унитарному преобразованию в будет соответствовать некоторая матрица, которая сама зависит от выбора ортов. Если мы выберем за орты или то получим одну и ту же матрицу с элементами

или

Поскольку переход от не меняет скалярного произведения, можем написать

В новых ортах элементы матрицы, соответствующей оператору будут определяться формулами, аналогичными формулам (51):

Если составляющие некоторого элемент в ортах и составляющие того же элемента в ортах то откуда видно, что выражается через при помощи матрицы, обратной унитарной матрице Таким образом, если обозначить через А, Н и С матрицы с элементами то будем иметь матричное равенство

Пользуясь формулой (263) из 1147], (49) и (50), можем написать

Принимая во внимание (39), можем написать выражение для элементов матрицы ортах где — любая ограниченная -функция, определенная на промежутке :

При получаем резольвенту указанного оператора

Если вещественная функция, то самосопряженный оператор, и, совершенно аналогично (55), можно написать элементы для спектральной функции оператора

где — множество значений X, определяемое неравенством На доказательстве этой формулы не останавливаемся. Спектр может иметь различный характер в зависимости от свойств

Выше мы исходили от заданного самосопряженного в оператора А и определенного элемента такого, что замкнутая линейная оболочка есть Вводя орты , мы приходили к и

бесконечным матрицам, причем имели место указанные выше формулы. Можно, наоборот, выбрать произвольную непрерывную, неубывающую на промежутке функцию равную нулю при и замкнутую ортогональную нормированную систему . После этого формулы (51) определят элементы удовлетворяющие, очевидно, условию . Нетрудно показать, что матрице с элементами соответствует ограниченный оператор в Действительно, обозначая через N наибольшую величину абсолютного значения на промежутке мы имеем, в силу (51),

или, принимая во внимание ортогональность и нормированность :

откуда и следует ограниченность соответствующего оператора. Его самосопряженность вытекает из Формулы (55) определяют элементы оператора проектирования, зависящего от параметра и являющегося разложением единицы, причем, очевидно,

т. е. есть спектральная функция оператора А. Если в формулах (50) перейти к сопряженным величинам, то получим составляющие элемента и при составляющие самого элемента Из (50), в силу уравнения замкнутости, следует, что выражается формулой (47). В общем случае самосопряженного оператора А с непрерывным спектром мы образуем попарно ортогональные инвариантные подпространства в каждом из которых А имеет простой спектр. Вводя в каждом из свои орты, получаем для каждого формулы указанного выше вида. Затем окончательное выражение, например для билинейной формулы может быть получено путем сложения билинейных форм в каждом из

Можно легко обобщить понятие простого спектра, отказавшись от требования непрерывности спектральной функции Но по-прежнему должен существовать такой элемент что образует все Н. При этом неубывающая функция , определяемая формулой (47), не обязательно непрерывна. Мы можем, очевидно, считать нормированным элементом и при этом будем иметь, кроме еще . Если, например, А имеет чисто точечный спектр и все собственные значения имеют ранг, равный единице, то, взяв за х

любой элемент, у которого все коэффициенты Фурье относительно замкнутой системы собственных элементов отличны от нуля, мы можем у тверждать, что образует все и указанный спектр булел простым. При наличии кратных собственных значений спектр, как нетрудно видеть, не может быть простым. Мы получим общий случай простого спектра, если при разбиении всего Н на подпространство собственных элементов и подпространство непрерывною спектра будем иметь в обоих подпространствах простые спектры. В первом подпространстве спектр будет простым тогда и только тогда, когда все собственные значения — простые. Если простои спектр не непрерывен, то имеет скачки, и , определенная формулой (47), также должна иметь разрыв непрерывности в точках разрыва Действительно, если бы в точке разрыва с пектральной функции функция оказалась бы непрерывной, то мы имели бы и все элементы пространства, образованного оказались бы ортогональными к собственным элементам, соответствующим собственному значению и отсюда следовало бы, что не может образовать всего Н.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление