Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

168. Дифференциальные решения.

Рассмотрим самосопряженный оператор (матрицу) с чисто непрерывным спектром. Как мы видели, можно построить последовательность попарно ортогональных нормированных элементов таких, что образуют попарно ортогональные подпространства ортогональная сумма которых есть все Н. Число элементов может быть как конечным,

так и бесконечным. Пусть - составляющие элемента Функции суть функции ограниченной вариации, при всяком s в любом промежутке, содержащемся в промежутке они удовлетворяют уравнениям

Мы можем утверждать следующие свойства ортогональности решений

( — без общих внутренних точек).

Основные формулы из [149] дают следующие формулы, содержащие построенные дифференциальные решения:

где элементы спектральной матрицы. Если мы каким-либо образом построили решения системы (72), удовлетворяющие условиям ортогональности (73) и и проверили справедливость формулы (76) при любом X, то можем быть уверены, что полученная система решений — полная, и что имеют место остальные формулы. Пусть — элементы из и

Формула (272) из [149] записывается в виде

Она является непосредственным следствием (75). Аналогично записываются и остальные формулы из [149]. Нетрудно доказать, что если некоторое дифференциальное решение ортогонально ко всем указанным выше дифференциальным решениям, образующим полную систему дифференциальных решений, то все суть постоянные. Случай постоянных дает тривиальное решение системы (72), ибо при этом . Дифференциальные решения получаемые после выделения точечного спектра, ортогональны, очевидна, и ко всем собственным элементам оператора А. Вернемся к системе (72), и пусть некоторое дифференциальное решение этой системы:

Положим, что все функции имеют непрерывную производную При этом написанные интегралы Стилтьеса превратятся в обычные интегралы от непрерывных функций, и, применяя к ним теорему о среднем и обозначая через концы интервала А, получим

где . Применяя к левой части формулу Лагранжа, деля обе части на и устремляя к общему пределу X, получим

При этом предполагается, что мы можем переходить почленно к пределу в бесконечной сумме, стоящей в левой части (77). Это будет, наверное, так, если эта сумма конечна, т. е. если матрица имеет в каждой своей строке, а тем самым и в каждом столбце, лишь конечное число элементов, отличных нуля. Из формул (78) мы видим, что при указанных условиях, в случае непрерывного спектра, удовлетворяют при любом X тем же уравнениям, которые имели для собственных элементов, но не принадлежат т. е. сумма, составленная из равна

ибо в случае чисто непрерывного спектра не существует собственных элементов. При наличии смешанного спектра дифференциальные решения могут накладываться на обычные решения из которые дают собственные элементы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление